Страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какова область определения функции $y = \arccos x? y = \arcsin x? y = \operatorname{arctg} x? y = \operatorname{arcctg} x?$

Область определения функции (или область допустимых значений аргумента) — это множество всех значений переменной $x$, при которых функция $y = f(x)$ определена (имеет смысл).

y = arccos x?

Функция $y = \arccos x$ (арккосинус) является обратной к тригонометрической функции $y = \cos t$. По определению, область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Функция косинуса $y = \cos t$ принимает значения на отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент $x$ для функции $y = \arccos x$ должен принадлежать этому же отрезку, то есть должно выполняться неравенство $-1 \le x \le 1$.

Ответ: Область определения функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$.

y = arcsin x?

Функция $y = \arcsin x$ (арксинус) является обратной к функции $y = \sin t$. Область значений функции синуса $y = \sin t$ — это отрезок $[-1, 1]$. Так как область определения обратной функции есть область значений прямой функции, то область определения для $y = \arcsin x$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Ответ: Область определения функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$.

y = arctg x?

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс) является обратной к функции $y = \operatorname{tg} t$. Областью значений функции тангенса $y = \operatorname{tg} t$ является множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty, +\infty)$. Соответственно, область определения для обратной функции $y = \operatorname{arctg} x$ также является множеством всех действительных чисел.

Ответ: Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

y = arcctg x?

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) является обратной к функции $y = \operatorname{ctg} t$. Область значений функции котангенса $y = \operatorname{ctg} t$, так же как и у тангенса, — это множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty, +\infty)$. Поэтому область определения для обратной функции $y = \operatorname{arcctg} x$ также охватывает все действительные числа.

Ответ: Область определения функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Какова область значений функции $y = \arccos x? y = \arcsin x?$

$y = \text{arctg } x? y = \text{arcctg } x?$

Область значений обратной функции — это множество, на которое была сужена область определения исходной функции, чтобы сделать ее обратимой (монотонной). Функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $y = \cos x$. Функция косинуса периодична, и для построения обратной для нее функции выбирают промежуток монотонности. По соглашению, для функции $y = \cos x$ выбирается отрезок $[0, \pi]$. На этом отрезке косинус монотонно убывает и принимает все возможные значения от $-1$ до $1$. Следовательно, по определению арккосинуса, его область значений (множество всех значений $y$) — это именно этот отрезок. То есть, $y = \arccos x$ — это такое число (угол) из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$.

Ответ: Область значений функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

Функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $y = \sin x$. Функция синуса также является периодической. Чтобы обеспечить ее монотонность и, соответственно, существование обратной функции, для синуса по стандарту выбирается отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке $y = \sin x$ монотонно возрастает, пробегая все значения от $-1$ до $1$. Таким образом, по определению арксинуса, его область значений совпадает с этим отрезком. То есть, $y = \arcsin x$ — это такое число (угол) из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

Ответ: Область значений функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс) является обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$ (тангенс). Функция тангенса периодична с периодом $\pi$. Чтобы определить для нее обратную функцию, выбирают один из промежутков монотонности. Стандартным выбором является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На этом интервале $y = \operatorname{tg} x$ монотонно возрастает и принимает все значения из множества действительных чисел $(-\infty, +\infty)$. Следовательно, область значений функции арктангенс — это интервал, на котором рассматривался тангенс. То есть, $y = \operatorname{arctg} x$ — это такое число (угол) из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

Ответ: Область значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) является обратной к функции $y = \operatorname{ctg} x$ (котангенс). Функция котангенса также периодическая с периодом $\pi$. Для нахождения обратной функции для нее выбирается промежуток монотонности. Для котангенса стандартно выбирают интервал $(0, \pi)$. На этом интервале $y = \operatorname{ctg} x$ монотонно убывает и принимает все значения из множества действительных чисел $(-\infty, +\infty)$. Поэтому, по определению, область значений функции арккотангенс — это интервал $(0, \pi)$. То есть, $y = \operatorname{arcctg} x$ — это такое число (угол) из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Ответ: Область значений функции $y = \operatorname{arcctg} x$ есть интервал $(0, \pi)$.

3. Какое число является нулём функции $y = \arccos x?$ $y = \arcsin x?$

$y = \operatorname{arctg} x?$ $y = \operatorname{arcctg} x?$

Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули указанных функций, необходимо для каждой из них решить уравнение $y=0$.

$y = \arccos x$
Для нахождения нуля функции решим уравнение $\arccos x = 0$. По определению арккосинуса, это означает, что нам нужно найти такое значение $x$, косинус которого равен 0. Однако, важно помнить, что область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Уравнение $\arccos x = 0$ равносильно уравнению $x = \cos(0)$. Поскольку $\cos(0) = 1$, то $x = 1$.
Ответ: 1.

$y = \arcsin x$
Для нахождения нуля функции решим уравнение $\arcsin x = 0$. По определению арксинуса, это уравнение равносильно уравнению $x = \sin(0)$. Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, и 0 входит в этот отрезок. Поскольку $\sin(0) = 0$, то $x = 0$.
Ответ: 0.

$y = \operatorname{arctg} x$
Для нахождения нуля функции решим уравнение $\operatorname{arctg} x = 0$. По определению арктангенса, это уравнение равносильно уравнению $x = \operatorname{tg}(0)$. Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, и 0 входит в этот интервал. Поскольку $\operatorname{tg}(0) = 0$, то $x = 0$.
Ответ: 0.

$y = \operatorname{arcctg} x$
Для нахождения нуля функции решим уравнение $\operatorname{arcctg} x = 0$. Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0, \pi)$. Поскольку значение 0 не входит в область значений функции $y = \operatorname{arcctg} x$, уравнение $\operatorname{arcctg} x = 0$ не имеет решений. Следовательно, у данной функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

4. Назовите промежутки знакопостоянства функции $y = \arccos x; y = \arcsin x, y = \operatorname{arctg} x, y = \operatorname{arcctg} x.$

$y = \arccos x$
Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на которых функция принимает значения только одного знака (положительные или отрицательные).
Область определения функции $y = \arccos x$ есть отрезок $D(y) = [-1; 1]$.
Область значений функции — отрезок $E(y) = [0; \pi]$.
Поскольку все значения функции неотрицательны, функция $y = \arccos x$ не имеет промежутков, где она отрицательна.
Найдем значение $x$, при котором функция равна нулю: $y = 0$.
$\arccos x = 0 \implies x = \cos(0) = 1$.
Таким образом, функция положительна на всей области определения, за исключением точки $x=1$, где она равна нулю.
Ответ: $y > 0$ при $x \in [-1; 1)$.

$y = \arcsin x$
Область определения функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $D(y) = [-1; 1]$.
Область значений функции — отрезок $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Найдем значение $x$, при котором функция равна нулю: $y = 0$.
$\arcsin x = 0 \implies x = \sin(0) = 0$.
Функция $y = \arcsin x$ является возрастающей на всей области определения.
Следовательно, при $x > 0$ значения функции будут положительными: $y > 0$. Учитывая область определения, это промежуток $x \in (0; 1]$.
При $x < 0$ значения функции будут отрицательными: $y < 0$. Учитывая область определения, это промежуток $x \in [-1; 0)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 1]$; $y < 0$ при $x \in [-1; 0)$.

$y = \operatorname{arctg} x$
Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — вся числовая прямая $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции — интервал $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Найдем значение $x$, при котором функция равна нулю: $y = 0$.
$\operatorname{arctg} x = 0 \implies x = \operatorname{tg}(0) = 0$.
Функция $y = \operatorname{arctg} x$ является возрастающей на всей области определения.
Следовательно, при $x > 0$ значения функции будут положительными: $y > 0$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.
При $x < 0$ значения функции будут отрицательными: $y < 0$ на промежутке $x \in (-\infty; 0)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

$y = \operatorname{arcctg} x$
Область определения функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — вся числовая прямая $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции — интервал $E(y) = (0; \pi)$.
Поскольку все значения функции принадлежат интервалу $(0; \pi)$, они строго положительны.
Следовательно, функция $y = \operatorname{arcctg} x$ положительна на всей своей области определения. Промежутков, где функция отрицательна или равна нулю, не существует.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

5. Возрастающей или убывающей является функция $y = \arccos x?$

$y = \arcsin x? y = \text{arctg } x? y = \text{arcctg } x?$

Для определения характера монотонности функции (возрастает она или убывает) найдем ее производную и определим знак этой производной на всей области определения функции. Если производная $y'$ положительна ($y' > 0$), функция возрастает. Если производная отрицательна ($y' < 0$), функция убывает.

$y = \arccos x$

Найдем производную функции: $y' = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Производная определена на интервале $(-1, 1)$. На этом интервале знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ всегда положителен. Так как в числителе стоит $-1$, вся дробь будет отрицательной: $y' < 0$ при любом $x \in (-1, 1)$. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: убывающая.

$y = \arcsin x$

Найдем производную функции: $y' = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Область определения функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Производная определена на интервале $(-1, 1)$. На этом интервале знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ всегда положителен. Числитель равен $1$ (положительное число). Следовательно, производная $y'$ всегда положительна: $y' > 0$ при любом $x \in (-1, 1)$. Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: возрастающая.

$y = \operatorname{arctg} x$

Найдем производную функции: $y' = (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — вся числовая прямая, $x \in (-\infty, +\infty)$. Знаменатель $1+x^2$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$. Числитель равен $1$. Следовательно, производная $y'$ всегда положительна: $y' > 0$ при любом $x$. Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: возрастающая.

$y = \operatorname{arcctg} x$

Найдем производную функции: $y' = (\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

Область определения функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — вся числовая прямая, $x \in (-\infty, +\infty)$. Знаменатель $1+x^2$ всегда положителен. Так как в числителе стоит $-1$, вся дробь будет отрицательной: $y' < 0$ при любом $x$. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: убывающая.

6. Чему равен $\arccos(-x)$? $\arcsin(-x)$? $\arctan(-x)$? $\operatorname{arcctg}(-x)$?

Для нахождения значений обратных тригонометрических функций от отрицательного аргумента используются следующие тождества, которые выводятся из определений и свойств соответствующих тригонометрических функций.

arccos(-x)

Пусть $y = \arccos(-x)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(y) = -x$ и $y \in [0, \pi]$.Рассмотрим выражение $\pi - \arccos(x)$. Пусть $z = \arccos(x)$, тогда $\cos(z) = x$ и $z \in [0, \pi]$.Используя формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем: $\cos(\pi - z) = -\cos(z) = -x$.Поскольку $z \in [0, \pi]$, то и выражение $\pi - z$ также принадлежит промежутку $[0, \pi]$.Таким образом, мы имеем два угла, $y$ и $\pi - z$, из одного и того же промежутка $[0, \pi]$, косинусы которых равны $-x$.В силу того, что функция косинус является монотонно убывающей на промежутке $[0, \pi]$, равенство косинусов влечет за собой равенство углов: $y = \pi - z$.Подставляя обратно выражения для $y$ и $z$, получаем искомое тождество.

Ответ: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, где $x \in [-1, 1]$.

arcsin(-x)

Пусть $y = \arcsin(-x)$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(y) = -x$ и $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Рассмотрим выражение $-\arcsin(x)$. Пусть $z = \arcsin(x)$, тогда $\sin(z) = x$ и $z \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Так как синус — нечетная функция, т.е. $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, то $\sin(-z) = -\sin(z) = -x$.Поскольку $z \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то и $-z$ принадлежит тому же промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Мы получили два угла, $y$ и $-z$, из одного и того же промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синусы которых равны $-x$.В силу того, что функция синус является монотонно возрастающей на этом промежутке, равенство синусов влечет за собой равенство углов: $y = -z$.Подставляя обратно, получаем тождество, которое показывает, что арксинус является нечетной функцией.

Ответ: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$, где $x \in [-1, 1]$.

arctg(-x)

Пусть $y = \operatorname{arctg}(-x)$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg}(y) = -x$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.Рассмотрим выражение $-\operatorname{arctg}(x)$. Пусть $z = \operatorname{arctg}(x)$, тогда $\operatorname{tg}(z) = x$ и $z \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.Так как тангенс — нечетная функция, т.е. $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$, то $\operatorname{tg}(-z) = -\operatorname{tg}(z) = -x$.Поскольку $z \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то и $-z$ принадлежит тому же промежутку $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.Мы имеем два угла, $y$ и $-z$, из одного и того же промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенсы которых равны $-x$.В силу монотонности функции тангенс на этом промежутке, углы должны быть равны: $y = -z$.Подставляя обратно, получаем тождество, которое показывает, что арктангенс является нечетной функцией.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$, где $x \in (-\infty, \infty)$.

arcctg(-x)

Пусть $y = \operatorname{arcctg}(-x)$. По определению арккотангенса, это означает, что $\operatorname{ctg}(y) = -x$ и $y \in (0, \pi)$.Рассмотрим выражение $\pi - \operatorname{arcctg}(x)$. Пусть $z = \operatorname{arcctg}(x)$, тогда $\operatorname{ctg}(z) = x$ и $z \in (0, \pi)$.Используя формулу приведения $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$, получаем: $\operatorname{ctg}(\pi - z) = -\operatorname{ctg}(z) = -x$.Поскольку $z \in (0, \pi)$, то и выражение $\pi - z$ также принадлежит промежутку $(0, \pi)$.Таким образом, мы имеем два угла, $y$ и $\pi - z$, из одного и того же промежутка $(0, \pi)$, котангенсы которых равны $-x$.В силу монотонности функции котангенс на этом промежутке, равенство котангенсов влечет за собой равенство углов: $y = \pi - z$.Подставляя обратно выражения для $y$ и $z$, получаем искомое тождество.

Ответ: $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$, где $x \in (-\infty, \infty)$.

29.1. Верно ли равенство:

1) $\arcsin 0 = \pi;$

2) $\arcsin(-1) = \frac{3\pi}{2};$

3) $\arcsin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

4) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = 0;$

5) $\arccos \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{3};$

6) $\arccos \frac{\pi}{2} = 0;$

7) $\arccos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2};$

8) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi;$

9) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi^2}{12};$

10) $\operatorname{arctg}(-1) = \frac{3\pi}{4};$

11) $\operatorname{arctg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3};$

12) $\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \operatorname{arctg}(-1) = \frac{\pi}{12}?$

Равенство неверно. По определению, областью значений функции арксинус является отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Число $\pi$ не принадлежит этому отрезку. Правильное равенство: $\arcsin 0 = 0$, поскольку $\sin 0 = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Областью значений функции арксинус является отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Число $\frac{3\pi}{2}$ не принадлежит этому отрезку. Правильное равенство: $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Аргумент и значение функции перепутаны местами. Область определения функции $\arcsin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, а область значений — $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Правильное равенство — это $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, из которого следует $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$. Выражение же $\arcsin\frac{\pi}{4}$ определено, так как $\frac{\pi}{4} \approx 0.785 \in [-1, 1]$, но его значение не равно $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.

Ответ: неверно.

Равенство верно. Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$.
$\arcsin\frac{1}{2} + \arcsin(-\frac{1}{2}) = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin\frac{1}{2} = 0$.
Либо можно вычислить каждое значение: $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ и $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Их сумма: $\frac{\pi}{6} + (-\frac{\pi}{6}) = 0$.

Ответ: верно.

Равенство неверно. По определению, областью значений функции арккосинус является отрезок $[0; \pi]$. Значение $-\frac{\pi}{3}$ не входит в этот отрезок. Правильное равенство: $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [0; \pi]$.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Областью определения функции арккосинус является отрезок $[-1; 1]$. Аргумент $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ не принадлежит этому отрезку, поэтому выражение $\arccos\frac{\pi}{2}$ не определено.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Областью определения функции арккосинус является отрезок $[-1; 1]$. Аргумент $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ не принадлежит этому отрезку, поэтому выражение $\arccos\frac{\pi}{3}$ не определено. Вероятно, имелось в виду равенство $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: неверно.

Равенство верно. Используем свойство арккосинуса $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = (\pi - \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi$.
Либо можно вычислить значения: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Их сумма: $\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: верно.

Равенство неверно. Вычислим значения в левой части:
$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos\frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
Произведение: $\frac{\pi}{4} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{6}$.
$\frac{\pi^2}{6} \neq -\frac{\pi^2}{12}$. Кроме того, значения арккосинуса всегда неотрицательны, поэтому их произведение не может быть отрицательным.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. По определению, областью значений функции арктангенс является интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Число $\frac{3\pi}{4}$ не принадлежит этому интервалу. Правильное равенство: $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$. (Стоит отметить, что $\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$).

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Аргумент и значение функции перепутаны местами. Правильное равенство: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, из которого следует, что $\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$. Выражение $\operatorname{arctg}\frac{\pi}{6}$ определено, но его значение не равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: неверно.

Равенство неверно. Вычислим слагаемые в левой части:
$\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$
Сумма: $\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.
Так как $\frac{13\pi}{12} \neq \frac{\pi}{12}$, равенство неверно.

Ответ: неверно.