Номер 29.13, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.13. Вычислите:

1) $\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right);$

2) $\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{1}{4}\right).$

1) Вычислим значение выражения $\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)$.

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{5}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Поскольку значение $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ положительное, угол $\alpha$ должен находиться в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этом промежутке значение косинуса является неотрицательным ($\cos \alpha \ge 0$).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выразим из него косинус: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$. Так как мы установили, что $\cos \alpha \ge 0$, мы можем написать: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$.

Подставим известное значение $\sin \alpha$: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Таким образом, $\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

2) Вычислим значение выражения $\text{tg}\left(\arcsin\frac{1}{4}\right)$.

Пусть $\beta = \arcsin\frac{1}{4}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin \beta = \frac{1}{4}$ и угол $\beta$ находится в промежутке $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.

Поскольку значение $\sin \beta = \frac{1}{4}$ положительное, угол $\beta$ находится в первой четверти, то есть $0 \le \beta \le \frac{\pi}{2}$. В этом промежутке косинус является неотрицательным ($\cos \beta \ge 0$).

Для нахождения тангенса нам потребуются значения синуса и косинуса. Синус нам известен. Найдем косинус из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$: $\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16-1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Теперь вычислим тангенс, используя формулу $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$: $\text{tg}\beta = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{1 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.

Таким образом, $\text{tg}\left(\arcsin\frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{15}}{15}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{15}$.