Номер 2, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Какие уравнения называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени? Второй степени?

Однородные тригонометрические уравнения первой степени

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида $a \sin(x) + b \cos(x) = 0$, где $a$ и $b$ — некоторые числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Ключевой особенностью такого уравнения является то, что все его слагаемые имеют одинаковую (первую) степень относительно синуса и косинуса одного и того же аргумента, а свободный член равен нулю.

Для решения такого уравнения его делят почленно на $\cos(x)$. Это преобразование является равносильным, так как в данном уравнении $\cos(x)$ не может быть равен нулю. Если предположить обратное, т.е. $\cos(x) = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ следует, что $\sin(x) = \pm 1$. Подставив $\cos(x) = 0$ и $\sin(x) = \pm 1$ в исходное уравнение, получим $a(\pm 1) + b \cdot 0 = 0$, откуда следует, что $a = 0$. Это противоречит начальному условию, что $a \neq 0$. Следовательно, деление на $\cos(x)$ не приводит к потере корней.

После деления на $\cos(x)$ получаем:
$a \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + b \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 0$
$a \tan(x) + b = 0$
Это простейшее тригонометрическое уравнение относительно тангенса, которое легко решается. Аналогично можно делить на $\sin(x)$, если $b \neq 0$.

Ответ: Уравнение вида $a \sin(x) + b \cos(x) = 0$ (где $a \neq 0, b \neq 0$) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, и хотя бы один из них не равен нулю.

В таком уравнении сумма степеней синуса и косинуса в каждом слагаемом одинакова и равна двум. Свободный член также равен нулю.

Метод решения зависит от коэффициентов. Если коэффициент $a \neq 0$, то уравнение делят почленно на $\cos^2(x)$. По аналогии с уравнением первой степени, можно показать, что $\cos^2(x) \neq 0$. Если $\cos(x) = 0$, то $\sin^2(x) = 1$. Подставив это в исходное уравнение, получим $a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, то есть $a=0$, что противоречит условию $a \neq 0$.

После деления на $\cos^2(x)$ (при $a \neq 0$) получаем:
$a \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + b \frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} + c \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$
$a \tan^2(x) + b \tan(x) + c = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\tan(x)$. Его решают с помощью замены переменной $t = \tan(x)$, получая стандартное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$.

Если $a=0$, то уравнение принимает вид $b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$. Оно решается вынесением общего множителя $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(b \sin(x) + c \cos(x)) = 0$.

Также к однородным уравнениям второй степени сводятся уравнения вида $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = d$, где $d \neq 0$. Для этого правую часть представляют в виде $d = d \cdot 1 = d(\sin^2(x) + \cos^2(x))$, после чего переносят все слагаемые в левую часть и приводят подобные.

Ответ: Уравнение вида $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$ называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.