Номер 30.7, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.7. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x + 0.5\sin 2x - 2\cos^2 x = 0;$

2) $\cos^2 5x + 7\sin^2 5x = 4 \sin 10x;$

3) $(\cos x + \sin x)^2 = 1 - \cos 2x;$

4) $3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2 = 0;$

5) $5\cos^2 x - 3\sin^2 x - \sin 2x = 2;$

6) $3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3;$

7) $3\sin x \cos x + \cos^2 x = 1;$

8) $\frac{2 \cos x + \sin x}{7 \sin x - \cos x} = \frac{1}{2}.$

1) $ \sin^2 x + 0,5\sin 2x - 2\cos^2 x = 0 $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:
$ \sin^2 x + 0,5(2\sin x \cos x) - 2\cos^2 x = 0 $
$ \sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 $
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставив в уравнение, получим $ 1 + 0 - 0 = 0 $, что неверно. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:
$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $
$ \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 $
Сделаем замену $ t = \tan x $:
$ t^2 + t - 2 = 0 $
По теореме Виета находим корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = -2 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x = 4\sin 10x $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 10x = 2\sin 5x \cos 5x $:
$ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x = 4(2\sin 5x \cos 5x) $
$ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x - 8\sin 5x \cos 5x = 0 $
$ 7\sin^2 5x - 8\sin 5x \cos 5x + \cos^2 5x = 0 $
Это однородное уравнение. Если $ \cos 5x = 0 $, то $ \sin^2 5x = 1 $. Уравнение примет вид $ 7 \cdot 1 - 0 + 0 = 0 $, что неверно. Значит, $ \cos 5x \neq 0 $. Делим обе части на $ \cos^2 5x $:
$ 7\tan^2 5x - 8\tan 5x + 1 = 0 $
Пусть $ t = \tan 5x $:
$ 7t^2 - 8t + 1 = 0 $
Дискриминант $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36 = 6^2 $.
$ t_1 = \frac{8 - 6}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $
$ t_2 = \frac{8 + 6}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 $
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan 5x = 1 \implies 5x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan 5x = \frac{1}{7} \implies 5x = \arctan\left(\frac{1}{7}\right) + \pi k \implies x = \frac{1}{5}\arctan\left(\frac{1}{7}\right) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{1}{5}\arctan\left(\frac{1}{7}\right) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ (\cos x + \sin x)^2 = 1 - \cos 2x $

Раскроем скобки в левой части и применим формулы двойного угла:
Левая часть: $ (\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x $.
Правая часть: $ 1 - \cos 2x $.
Получаем уравнение:
$ 1 + \sin 2x = 1 - \cos 2x $
$ \sin 2x = -\cos 2x $
Если $ \cos 2x = 0 $, то $ \sin 2x = 0 $, что невозможно, так как $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $. Поэтому $ \cos 2x \neq 0 $ и мы можем разделить обе части на $ \cos 2x $:
$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -1 $
$ \tan 2x = -1 $
$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2 = 0 $

Используем основное тригонометрическое тождество, представив $ 2 $ как $ 2 \cdot 1 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $:
$ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $
$ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0 $
Приводим подобные слагаемые:
$ \sin^2 x - 7\sin x \cos x + 12\cos^2 x = 0 $
Это однородное уравнение. Разделим его на $ \cos^2 x $ (случай $ \cos x=0 $ не является решением):
$ \tan^2 x - 7\tan x + 12 = 0 $
Пусть $ t = \tan x $:
$ t^2 - 7t + 12 = 0 $
По теореме Виета, корни $ t_1 = 3 $, $ t_2 = 4 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

5) $ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - \sin 2x = 2 $

Применим формулу $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ и заменим $ 2 $ на $ 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $:
$ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $
$ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x $
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ (5-2)\cos^2 x - (3+2)\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $
$ 3\cos^2 x - 5\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $
Умножим на -1 и переставим слагаемые:
$ 5\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 $
Разделим на $ \cos^2 x $ (так как $ \cos x=0 $ не является решением):
$ 5\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0 $
Пусть $ t = \tan x $:
$ 5t^2 + 2t - 3 = 0 $
Дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $.
$ t_1 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $
$ t_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan x = \frac{3}{5} \implies x = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

6) $ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3 $

Заменим $ 3 $ в правой части на $ 3(\sin^2 x + \cos^2 x) $:
$ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x $
Вычтем $ 3\sin^2 x $ из обеих частей:
$ \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3\cos^2 x $
$ \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $
Вынесем $ \cos x $ за скобки:
$ \cos x (\sin x + \cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x $. Разделив на $ \cos x $ (он не равен нулю в этом случае), получим $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

7) $ 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 $

Заменим $ 1 $ на $ \sin^2 x + \cos^2 x $:
$ 3\sin x \cos x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x $
Вычтем $ \cos^2 x $ из обеих частей:
$ 3\sin x \cos x = \sin^2 x $
$ \sin^2 x - 3\sin x \cos x = 0 $
Вынесем $ \sin x $ за скобки:
$ \sin x (\sin x - 3\cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \sin x - 3\cos x = 0 \implies \sin x = 3\cos x $. Разделив на $ \cos x $ (он не равен нулю в этом случае), получим $ \tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

8) $ \frac{2\cos x + \sin x}{7\sin x - \cos x} = \frac{1}{2} $

Область допустимых значений: $ 7\sin x - \cos x \neq 0 \implies 7\sin x \neq \cos x \implies \tan x \neq \frac{1}{7} $.
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ 2(2\cos x + \sin x) = 1(7\sin x - \cos x) $
$ 4\cos x + 2\sin x = 7\sin x - \cos x $
Сгруппируем слагаемые:
$ 4\cos x + \cos x = 7\sin x - 2\sin x $
$ 5\cos x = 5\sin x $
$ \cos x = \sin x $
Если $ \cos x = 0 $, то и $ \sin x = 0 $, что невозможно. Значит, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части на $ \cos x $:
$ 1 = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \tan x = 1 $
Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $ 1 \neq \frac{1}{7} $.
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.