Номер 30.14, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.14. Решите уравнение:

1) $4\cot x - 5\sin x = 0;$

2) $4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 2\sin^2 x = 6;$

3) $7 + 2\sin 2x + 1.5(\tan x + \cot x) = 0;$

4) $\sin^2 x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2};$

5) $2\cos 4x - 2\cos^2 x = 3\cos 2x.$

1) $4\operatorname{ctg} x - 5\sin x = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $\operatorname{ctg} x$ определен, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\operatorname{ctg} x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:
$4\frac{\cos x}{\sin x} - 5\sin x = 0$
Умножим обе части уравнения на $\sin x$ (так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$):
$4\cos x - 5\sin^2 x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$4\cos x - 5(1 - \cos^2 x) = 0$
$4\cos x - 5 + 5\cos^2 x = 0$
$5\cos^2 x + 4\cos x - 5 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$5t^2 + 4t - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 16 + 100 = 116$
$\sqrt{D} = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$
$t_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{29}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{29}}{5}$
Проверим корни на принадлежность отрезку $[-1, 1]$:
$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{29}}{5}$. Так как $5^2=25$ и $6^2=36$, то $5 < \sqrt{29} < 6$. Тогда $3 < -2 + \sqrt{29} < 4$, и $\frac{3}{5} < \frac{-2 + \sqrt{29}}{5} < \frac{4}{5}$. Этот корень подходит, так как $|t_1| < 1$.
$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{29}}{5}$. Так как $-6 < -\sqrt{29} < -5$, то $-8 < -2 - \sqrt{29} < -7$, и $-1.6 < \frac{-2 - \sqrt{29}}{5} < -1.4$. Этот корень не подходит, так как $t_2 < -1$.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = \frac{\sqrt{29}-2}{5}$
Решением этого уравнения является $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos x \neq \pm 1$.
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin^2{2x} + 7\cos{2x} - 2\sin^2{x} = 6$
Приведем все тригонометрические функции к одному аргументу $2x$. Используем формулы: $\sin^2{2x} = 1 - \cos^2{2x}$ и формулу понижения степени $2\sin^2{x} = 1 - \cos{2x}$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$4(1 - \cos^2{2x}) + 7\cos{2x} - (1 - \cos{2x}) = 6$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4 - 4\cos^2{2x} + 7\cos{2x} - 1 + \cos{2x} = 6$
$-4\cos^2{2x} + 8\cos{2x} + 3 = 6$
$-4\cos^2{2x} + 8\cos{2x} - 3 = 0$
$4\cos^2{2x} - 8\cos{2x} + 3 = 0$
Сделаем замену $t = \cos{2x}$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 8t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$
$t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4}{8}$
$t_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$. Этот корень не подходит, так как $1.5 > 1$.
$t_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
Возвращаемся к замене:
$\cos{2x} = \frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Разделим на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $7 + 2\sin{2x} + 1.5(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x) = 0$
ОДЗ: $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны быть определены, значит $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$. Это эквивалентно $\sin{2x} \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Упростим выражение в скобках:
$\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin{2x}} = \frac{2}{\sin{2x}}$
Подставим это в уравнение:
$7 + 2\sin{2x} + 1.5 \left(\frac{2}{\sin{2x}}\right) = 0$
$7 + 2\sin{2x} + \frac{3}{\sin{2x}} = 0$
Сделаем замену $t = \sin{2x}$, где $|t| \le 1$ и $t \neq 0$.
$7 + 2t + \frac{3}{t} = 0$
Умножим на $t$ (так как $t \neq 0$):
$2t^2 + 7t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
$t_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$. Этот корень не подходит, так как $-3 < -1$.
Возвращаемся к замене:
$\sin{2x} = -\frac{1}{2}$
$2x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k$
$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin^2 x = \cos^4{\frac{x}{2}} - \sin^4{\frac{x}{2}}$
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\cos^4{\frac{x}{2}} - \sin^4{\frac{x}{2}} = \left(\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}\right)\left(\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}}\right)$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\left(\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}\right)\left(\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}}\right) = (\cos x) \cdot 1 = \cos x$
Уравнение принимает вид:
$\sin^2 x = \cos x$
Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$1 - \cos^2 x = \cos x$
$\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$t^2 + t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1 < -1 + \sqrt{5} < 2$, и $0.5 < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} < 1$. Этот корень подходит.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx -1.618$. Этот корень не подходит, так как он меньше -1.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) $2\cos{4x} - 2\cos^2{x} = 3\cos{2x}$
Приведем все функции к аргументу $2x$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{4x} = 2\cos^2{2x} - 1$ и формулу понижения степени $2\cos^2{x} = 1 + \cos{2x}$.
Подставим выражения в уравнение:
$2(2\cos^2{2x} - 1) - (1 + \cos{2x}) = 3\cos{2x}$
Раскроем скобки и упростим:
$4\cos^2{2x} - 2 - 1 - \cos{2x} = 3\cos{2x}$
$4\cos^2{2x} - \cos{2x} - 3 = 3\cos{2x}$
$4\cos^2{2x} - 4\cos{2x} - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \cos{2x}$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 4t - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
$t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$
$t_1 = \frac{4+8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$. Этот корень не подходит.
$t_2 = \frac{4-8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
Возвращаемся к замене:
$\cos{2x} = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.