Номер 30.20, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.20. Найдите все корни уравнения $\sin x + \cos x = 1$, удовлетворяющие неравенству $0 < x < \pi$.

Данную задачу можно решить в два этапа: сначала найти общее решение уравнения $\sin(x) + \cos(x) = 1$, а затем отобрать те корни, которые принадлежат интервалу $(0, \pi)$.

1. Решение уравнения $\sin(x) + \cos(x) = 1$

Для решения уравнений вида $a \sin(x) + b \cos(x) = c$ используется метод введения вспомогательного угла. В нашем случае $a=1$, $b=1$.
Разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4})$. Подставим эти значения в уравнение:
$\sin(x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.
Таким образом, уравнение преобразуется к виду:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения задаются двумя сериями:
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

Из первой серии получаем:
$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k$

Из второй серии получаем:
$x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Итак, все корни уравнения: $x = 2\pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней на интервале $(0, \pi)$

Теперь необходимо найти корни, удовлетворяющие строгому неравенству $0 < x < \pi$.

Рассмотрим первую серию корней $x = 2\pi k$:
- при $k=0$, $x=0$. Не удовлетворяет условию $x > 0$.
- при $k=1$, $x=2\pi$. Не удовлетворяет условию $x < \pi$.
Другие целые значения $k$ также дадут корни вне заданного интервала. В этой серии подходящих корней нет.

Рассмотрим вторую серию корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$:
- при $k=0$, $x=\frac{\pi}{2}$. Проверим неравенство: $0 < \frac{\pi}{2} < \pi$. Неравенство верное, значит, $x=\frac{\pi}{2}$ является решением.
- при $k=1$, $x=\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Этот корень больше $\pi$.
- при $k=-1$, $x=\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Этот корень меньше $0$.
Другие целые значения $k$ также дадут корни вне заданного интервала. В этой серии есть только один подходящий корень.

Таким образом, единственный корень уравнения, удовлетворяющий неравенству $0 < x < \pi$, это $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$