Номер 31.3, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.3. Решите уравнение:

1) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 0;$

2) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = 0;$

3) $\sin 5x = \cos 4x;$

4) $\sin 10x - \cos 2x = 0.$

1) Исходное уравнение: $cos(\frac{\pi}{4} + x) + cos(\frac{\pi}{4} - x) = 0$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В данном случае пусть $\alpha = \frac{\pi}{4} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{4} - x$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + x) + (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + x) - (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{2x}{2} = x$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу суммы косинусов:

$2cos\frac{\pi}{4}cos(x) = 0$.

Мы знаем, что значение косинуса $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos(x) = 0$

$\sqrt{2}cos(x) = 0$.

Поскольку $\sqrt{2} \neq 0$, для выполнения равенства необходимо, чтобы $cos(x) = 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решением которого является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin(\frac{\pi}{6} + x) - sin(\frac{\pi}{6} - x) = 0$.

Для решения применим формулу разности синусов: $sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{6} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{6} - x$.

Вычислим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + x) + (\frac{\pi}{6} - x)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + x) - (\frac{\pi}{6} - x)}{2} = \frac{2x}{2} = x$.

Подставим эти значения в формулу разности синусов:

$2cos\frac{\pi}{6}sin(x) = 0$.

Значение $cos\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем его в уравнение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot sin(x) = 0$

$\sqrt{3}sin(x) = 0$.

Так как $\sqrt{3} \neq 0$, то должно выполняться равенство $sin(x) = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin(5x) = cos(4x)$.

Перенесем $cos(4x)$ в левую часть уравнения:

$sin(5x) - cos(4x) = 0$.

Воспользуемся формулой приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы привести уравнение к разности синусов.

$sin(5x) - sin(\frac{\pi}{2} - 4x) = 0$.

Теперь применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = \frac{\pi}{2} - 4x$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{5x + (\frac{\pi}{2} - 4x)}{2} = \frac{x + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{5x - (\frac{\pi}{2} - 4x)}{2} = \frac{9x - \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$2cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})sin(\frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

$cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) = 0$ или $sin(\frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 0$.

Решим первое уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение:

$\frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{9x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$9x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $sin(10x) - cos(2x) = 0$.

Перепишем уравнение в виде $sin(10x) = cos(2x)$.

Используем формулу приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы привести уравнение к синусам.

$sin(10x) = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$.

Перенесем все в левую часть: $sin(10x) - sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0$.

Применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = 10x$ и $\beta = \frac{\pi}{2} - 2x$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{10x + (\frac{\pi}{2} - 2x)}{2} = \frac{8x + \frac{\pi}{2}}{2} = 4x + \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{10x - (\frac{\pi}{2} - 2x)}{2} = \frac{12x - \frac{\pi}{2}}{2} = 6x - \frac{\pi}{4}$.

Уравнение преобразуется к виду:

$2cos(4x + \frac{\pi}{4})sin(6x - \frac{\pi}{4}) = 0$.

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$cos(4x + \frac{\pi}{4}) = 0$ или $sin(6x - \frac{\pi}{4}) = 0$.

Решаем первое уравнение:

$4x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k$

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Решаем второе уравнение:

$6x - \frac{\pi}{4} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$6x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.