Номер 31.5, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.5. Решите уравнение:

1) $\sin 2x + 2\sin x = \cos x + 1$;

2) $1 + \cos 8x = \cos 4x$;

3) $\cos x + \cos 3x + \cos 2x = 0$;

4) $2\sin 2x + \cos 3x - \cos x = 0$;

5) $\cos x - \cos 3x + \sin x = 0$;

6) $\sin 4x + 2\cos^2 x = 1$;

7) $\cos x - \cos 3x = 3\sin^2 2x$;

8) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$;

9) $\cos 7x + \sin 8x = \cos 3x - \sin 2x$;

10) $\sqrt{3} \sin 2x + \cos 5x - \cos 9x = 0$.

1) $ \sin 2x + 2\sin x = \cos x + 1 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x + 2\sin x = \cos x + 1 $

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:

$ (2\sin x \cos x + 2\sin x) - (\cos x + 1) = 0 $

Вынесем общие множители за скобки:

$ 2\sin x (\cos x + 1) - 1 \cdot (\cos x + 1) = 0 $

$ (\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

а) $ \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 $

$ x = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 1 + \cos 8x = \cos 4x $

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $. В нашем случае $ \alpha = 4x $, тогда $ \cos 8x = 2\cos^2(4x) - 1 $:

$ 1 + (2\cos^2(4x) - 1) = \cos 4x $

$ 2\cos^2(4x) - \cos 4x = 0 $

Вынесем $ \cos 4x $ за скобки:

$ \cos 4x (2\cos 4x - 1) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \cos 4x = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\cos 4x - 1 = 0 \implies \cos 4x = \frac{1}{2} $

$ 4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ \cos x + \cos 3x + \cos 2x = 0 $

Сгруппируем первое и второе слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\cos x + \cos 3x) + \cos 2x = 0 $

$ 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} + \cos 2x = 0 $

$ 2\cos(2x)\cos(-x) + \cos 2x = 0 $

Так как $ \cos(-x) = \cos x $:

$ 2\cos(2x)\cos x + \cos 2x = 0 $

Вынесем $ \cos 2x $ за скобки:

$ \cos 2x (2\cos x + 1) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \cos 2x = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) $ 2\sin 2x + \cos 3x - \cos x = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2\sin 2x + (-2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2}) = 0 $

$ 2\sin 2x - 2\sin(2x)\sin x = 0 $

Вынесем $ 2\sin 2x $ за скобки:

$ 2\sin 2x (1 - \sin x) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 1 - \sin x = 0 \implies \sin x = 1 $

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой (при $ n=1, 5, 9, \ldots $ или $ n=4k+1 $). Поэтому достаточно указать только первую серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

5) $ \cos x - \cos 3x + \sin x = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} + \sin x = 0 $

$ -2\sin(2x)\sin(-x) + \sin x = 0 $

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $:

$ 2\sin(2x)\sin x + \sin x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (2\sin 2x + 1) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin x = 0 $

$ x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\sin 2x + 1 = 0 \implies \sin 2x = -\frac{1}{2} $

$ 2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

6) $ \sin 4x + 2\cos^2 x = 1 $

Используем формулу понижения степени $ 2\cos^2 x = 1 + \cos 2x $:

$ \sin 4x + (1 + \cos 2x) = 1 $

$ \sin 4x + \cos 2x = 0 $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x $:

$ 2\sin 2x \cos 2x + \cos 2x = 0 $

Вынесем $ \cos 2x $ за скобки:

$ \cos 2x (2\sin 2x + 1) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \cos 2x = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\sin 2x + 1 = 0 \implies \sin 2x = -\frac{1}{2} $

$ 2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

7) $ \cos x - \cos 3x = 3\sin^2 x $

Преобразуем левую часть по формуле разности косинусов:

$ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} = 3\sin^2 x $

$ -2\sin(2x)\sin(-x) = 3\sin^2 x $

$ 2\sin(2x)\sin x = 3\sin^2 x $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2(2\sin x \cos x)\sin x = 3\sin^2 x $

$ 4\sin^2 x \cos x = 3\sin^2 x $

$ 4\sin^2 x \cos x - 3\sin^2 x = 0 $

$ \sin^2 x (4\cos x - 3) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 $

$ x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 4\cos x - 3 = 0 \implies \cos x = \frac{3}{4} $

$ x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

8) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) = 0 $

$ 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0 $

Вынесем $ 2\sin\frac{5x}{2} $ за скобки:

$ 2\sin\frac{5x}{2} \left(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) = 0 $

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов:

$ 2\sin\frac{5x}{2} \left(2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}\right) = 0 $

$ 2\sin\frac{5x}{2} (2\cos x \cos\frac{x}{2}) = 0 $

$ 4\sin\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2} = 0 $

Рассматриваем три случая:

а) $ \sin\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \pi n \implies x = \frac{2\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

в) $ \cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \pi + 2\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

9) $ \cos 7x + \sin 8x = \cos 3x - \sin 2x $

Перегруппируем члены уравнения:

$ \sin 8x + \sin 2x = \cos 3x - \cos 7x $

Применим формулы суммы синусов и разности косинусов:

$ 2\sin\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} = -2\sin\frac{3x+7x}{2}\sin\frac{3x-7x}{2} $

$ 2\sin(5x)\cos(3x) = -2\sin(5x)\sin(-2x) $

$ 2\sin(5x)\cos(3x) = 2\sin(5x)\sin(2x) $

$ 2\sin(5x)\cos(3x) - 2\sin(5x)\sin(2x) = 0 $

$ 2\sin(5x)(\cos(3x) - \sin(2x)) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin 5x = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos(3x) - \sin(2x) = 0 \implies \cos(3x) = \sin(2x) $

Используем формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ \cos(3x) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) $

Равенство косинусов $ \cos A = \cos B $ выполняется, если $ A = \pm B + 2\pi k $:

б1) $ 3x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k \implies 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б2) $ 3x = -(\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi m \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

10) $ \sqrt{3} \sin 2x + \cos 5x - \cos 9x = 0 $

Применим формулу разности косинусов к последним двум слагаемым:

$ \sqrt{3} \sin 2x + (-2\sin\frac{5x+9x}{2}\sin\frac{5x-9x}{2}) = 0 $

$ \sqrt{3} \sin 2x - 2\sin(7x)\sin(-2x) = 0 $

$ \sqrt{3} \sin 2x + 2\sin(7x)\sin(2x) = 0 $

Вынесем $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (\sqrt{3} + 2\sin 7x) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sqrt{3} + 2\sin 7x = 0 \implies \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ 7x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k \implies x = \frac{(-1)^{k+1}\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{(-1)^{k+1}\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} $.