Страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.5. Решите уравнение:

1) $\sin 2x + 2\sin x = \cos x + 1$;

2) $1 + \cos 8x = \cos 4x$;

3) $\cos x + \cos 3x + \cos 2x = 0$;

4) $2\sin 2x + \cos 3x - \cos x = 0$;

5) $\cos x - \cos 3x + \sin x = 0$;

6) $\sin 4x + 2\cos^2 x = 1$;

7) $\cos x - \cos 3x = 3\sin^2 2x$;

8) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$;

9) $\cos 7x + \sin 8x = \cos 3x - \sin 2x$;

10) $\sqrt{3} \sin 2x + \cos 5x - \cos 9x = 0$.

1) $ \sin 2x + 2\sin x = \cos x + 1 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x + 2\sin x = \cos x + 1 $

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:

$ (2\sin x \cos x + 2\sin x) - (\cos x + 1) = 0 $

Вынесем общие множители за скобки:

$ 2\sin x (\cos x + 1) - 1 \cdot (\cos x + 1) = 0 $

$ (\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

а) $ \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 $

$ x = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 1 + \cos 8x = \cos 4x $

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $. В нашем случае $ \alpha = 4x $, тогда $ \cos 8x = 2\cos^2(4x) - 1 $:

$ 1 + (2\cos^2(4x) - 1) = \cos 4x $

$ 2\cos^2(4x) - \cos 4x = 0 $

Вынесем $ \cos 4x $ за скобки:

$ \cos 4x (2\cos 4x - 1) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \cos 4x = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\cos 4x - 1 = 0 \implies \cos 4x = \frac{1}{2} $

$ 4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ \cos x + \cos 3x + \cos 2x = 0 $

Сгруппируем первое и второе слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\cos x + \cos 3x) + \cos 2x = 0 $

$ 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} + \cos 2x = 0 $

$ 2\cos(2x)\cos(-x) + \cos 2x = 0 $

Так как $ \cos(-x) = \cos x $:

$ 2\cos(2x)\cos x + \cos 2x = 0 $

Вынесем $ \cos 2x $ за скобки:

$ \cos 2x (2\cos x + 1) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \cos 2x = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) $ 2\sin 2x + \cos 3x - \cos x = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2\sin 2x + (-2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2}) = 0 $

$ 2\sin 2x - 2\sin(2x)\sin x = 0 $

Вынесем $ 2\sin 2x $ за скобки:

$ 2\sin 2x (1 - \sin x) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 1 - \sin x = 0 \implies \sin x = 1 $

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой (при $ n=1, 5, 9, \ldots $ или $ n=4k+1 $). Поэтому достаточно указать только первую серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

5) $ \cos x - \cos 3x + \sin x = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} + \sin x = 0 $

$ -2\sin(2x)\sin(-x) + \sin x = 0 $

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $:

$ 2\sin(2x)\sin x + \sin x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (2\sin 2x + 1) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin x = 0 $

$ x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\sin 2x + 1 = 0 \implies \sin 2x = -\frac{1}{2} $

$ 2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

6) $ \sin 4x + 2\cos^2 x = 1 $

Используем формулу понижения степени $ 2\cos^2 x = 1 + \cos 2x $:

$ \sin 4x + (1 + \cos 2x) = 1 $

$ \sin 4x + \cos 2x = 0 $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x $:

$ 2\sin 2x \cos 2x + \cos 2x = 0 $

Вынесем $ \cos 2x $ за скобки:

$ \cos 2x (2\sin 2x + 1) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \cos 2x = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\sin 2x + 1 = 0 \implies \sin 2x = -\frac{1}{2} $

$ 2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

7) $ \cos x - \cos 3x = 3\sin^2 x $

Преобразуем левую часть по формуле разности косинусов:

$ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} = 3\sin^2 x $

$ -2\sin(2x)\sin(-x) = 3\sin^2 x $

$ 2\sin(2x)\sin x = 3\sin^2 x $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2(2\sin x \cos x)\sin x = 3\sin^2 x $

$ 4\sin^2 x \cos x = 3\sin^2 x $

$ 4\sin^2 x \cos x - 3\sin^2 x = 0 $

$ \sin^2 x (4\cos x - 3) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 $

$ x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ 4\cos x - 3 = 0 \implies \cos x = \frac{3}{4} $

$ x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

8) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) = 0 $

$ 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0 $

Вынесем $ 2\sin\frac{5x}{2} $ за скобки:

$ 2\sin\frac{5x}{2} \left(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) = 0 $

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов:

$ 2\sin\frac{5x}{2} \left(2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}\right) = 0 $

$ 2\sin\frac{5x}{2} (2\cos x \cos\frac{x}{2}) = 0 $

$ 4\sin\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2} = 0 $

Рассматриваем три случая:

а) $ \sin\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \pi n \implies x = \frac{2\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

в) $ \cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \pi + 2\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

9) $ \cos 7x + \sin 8x = \cos 3x - \sin 2x $

Перегруппируем члены уравнения:

$ \sin 8x + \sin 2x = \cos 3x - \cos 7x $

Применим формулы суммы синусов и разности косинусов:

$ 2\sin\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} = -2\sin\frac{3x+7x}{2}\sin\frac{3x-7x}{2} $

$ 2\sin(5x)\cos(3x) = -2\sin(5x)\sin(-2x) $

$ 2\sin(5x)\cos(3x) = 2\sin(5x)\sin(2x) $

$ 2\sin(5x)\cos(3x) - 2\sin(5x)\sin(2x) = 0 $

$ 2\sin(5x)(\cos(3x) - \sin(2x)) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin 5x = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos(3x) - \sin(2x) = 0 \implies \cos(3x) = \sin(2x) $

Используем формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ \cos(3x) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) $

Равенство косинусов $ \cos A = \cos B $ выполняется, если $ A = \pm B + 2\pi k $:

б1) $ 3x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k \implies 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б2) $ 3x = -(\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi m \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

10) $ \sqrt{3} \sin 2x + \cos 5x - \cos 9x = 0 $

Применим формулу разности косинусов к последним двум слагаемым:

$ \sqrt{3} \sin 2x + (-2\sin\frac{5x+9x}{2}\sin\frac{5x-9x}{2}) = 0 $

$ \sqrt{3} \sin 2x - 2\sin(7x)\sin(-2x) = 0 $

$ \sqrt{3} \sin 2x + 2\sin(7x)\sin(2x) = 0 $

Вынесем $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (\sqrt{3} + 2\sin 7x) = 0 $

Рассматриваем два случая:

а) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sqrt{3} + 2\sin 7x = 0 \implies \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ 7x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k \implies x = \frac{(-1)^{k+1}\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{(-1)^{k+1}\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} $.

31.6. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x + 2\sin x = 0; $

2) $ \sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1; $

3) $ 1 - \cos 8x = \sin 4x; $

4) $ \sin 2x + \sin 4x + \cos x = 0; $

5) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0; $

6) $ \cos 9x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x = 0; $

7) $ \sin x - \sin 2x + \sin 5x + \sin 8x = 0; $

8) $ \sqrt{2} \cos 5x + \sin 3x - \sin 7x = 0. $

1)Исходное уравнение: $\sin 2x + 2\sin x = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x + 2\sin x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:
$2\sin x (\cos x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия решений ($x = \pi + 2\pi k$) является подмножеством первой серии ($x = \pi n$, при нечетных $n$). Следовательно, общее решение — это первая серия.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)Исходное уравнение: $\sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1$.
Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:
$(\sin 2x - 2\sin x) - (\cos x - 1) = 0$
Применим формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и вынесем общие множители:
$(2\sin x \cos x - 2\sin x) - (\cos x - 1) = 0$
$2\sin x (\cos x - 1) - 1(\cos x - 1) = 0$
$(2\sin x - 1)(\cos x - 1) = 0$
Получаем два случая:
1. $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)Исходное уравнение: $1 - \cos 8x = \sin 4x$.
Применим формулу понижения степени $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2 \alpha$. В нашем случае $\alpha = 4x$:
$2\sin^2 4x = \sin 4x$
Перенесем все в левую часть:
$2\sin^2 4x - \sin 4x = 0$
Вынесем $\sin 4x$ за скобки:
$\sin 4x (2\sin 4x - 1) = 0$
Получаем два случая:
1. $\sin 4x = 0 \implies 4x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $2\sin 4x - 1 = 0 \implies \sin 4x = \frac{1}{2} \implies 4x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

4)Исходное уравнение: $\sin 2x + \sin 4x + \cos x = 0$.
Применим к первым двум слагаемым формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2\sin\frac{2x+4x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2} + \cos x = 0$
$2\sin 3x \cos x + \cos x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2\sin 3x + 1) = 0$
Получаем два случая:
1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $2\sin 3x + 1 = 0 \implies \sin 3x = -\frac{1}{2} \implies 3x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

5)Исходное уравнение: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$.
Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов:
$(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0$
$2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0$
$2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0$
Вынесем $\sin 2x$ за скобки:
$\sin 2x (2\cos x + 1) = 0$
Получаем два случая:
1. $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6)Исходное уравнение: $\cos 9x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x = 0$.
Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(\cos 9x - \cos 7x) + (\cos 3x - \cos x) = 0$
$-2\sin\frac{9x+7x}{2}\sin\frac{9x-7x}{2} - 2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 0$
$-2\sin 8x \sin x - 2\sin 2x \sin x = 0$
Вынесем $-2\sin x$ за скобки:
$-2\sin x (\sin 8x + \sin 2x) = 0$
Применим формулу суммы синусов:
$\sin x (2\sin\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2}) = 0$
$\sin x \cdot 2\sin 5x \cos 3x = 0$
Получаем три случая:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin 5x = 0 \implies 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. $\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что первая серия решений ($x = \pi n$) содержится во второй ($x = \frac{\pi k}{5}$ при $k=5n$), поэтому её можно не указывать отдельно.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

7)Исходное уравнение: $\sin x - \sin 2x + \sin 5x + \sin 8x = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(\sin 8x + \sin x) + (\sin 5x - \sin 2x) = 0$.
Применим формулы суммы и разности синусов:
$2\sin\frac{8x+x}{2}\cos\frac{8x-x}{2} + 2\cos\frac{5x+2x}{2}\sin\frac{5x-2x}{2} = 0$
$2\sin\frac{9x}{2}\cos\frac{7x}{2} + 2\cos\frac{7x}{2}\sin\frac{3x}{2} = 0$
Вынесем $2\cos\frac{7x}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{7x}{2}(\sin\frac{9x}{2} + \sin\frac{3x}{2}) = 0$
Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках:
$2\cos\frac{7x}{2}(2\sin\frac{\frac{9x}{2}+\frac{3x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{9x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}) = 0$
$4\cos\frac{7x}{2}\sin 3x \cos\frac{3x}{2} = 0$
Получаем три случая:
1. $\cos\frac{7x}{2} = 0 \implies \frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. $\cos\frac{3x}{2} = 0 \implies \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Третья серия решений является подмножеством второй (при нечетных $k = 1+2m$). Поэтому достаточно указать первые две серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

8)Исходное уравнение: $\sqrt{2}\cos 5x + \sin 3x - \sin 7x = 0$.
Преобразуем разность синусов: $\sin 3x - \sin 7x = -(\sin 7x - \sin 3x)$.
Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\sqrt{2}\cos 5x - 2\cos\frac{7x+3x}{2}\sin\frac{7x-3x}{2} = 0$
$\sqrt{2}\cos 5x - 2\cos 5x \sin 2x = 0$
Вынесем $\cos 5x$ за скобки:
$\cos 5x (\sqrt{2} - 2\sin 2x) = 0$
Получаем два случая:
1. $\cos 5x = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sqrt{2} - 2\sin 2x = 0 \implies 2\sin 2x = \sqrt{2} \implies \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

31.7. Решите уравнение:

1) $\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{3x}{2} = 1;$

2) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1,5;$

3) $\cos 2x - \cos 8x + \cos 6x = 1;$

4) $1 - \cos x = \operatorname{tg} x - \sin x;$

5) $\sin x + \sin 3x = 4\cos^2 x;$

6) $\cos 2x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x);$

7) $\sin^2 x + \sin^2 2x - \sin^2 3x - \sin^2 4x = 0;$

8) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2;$

9) $\cos 9x = 2\sin \left(\frac{3\pi}{2} - 3x\right).$

1) $\sin^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{3x}{2} = 1$

Применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos x}{2} + \frac{1 - \cos(3x)}{2} = 1$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos x + 1 - \cos(3x) = 2$

$2 - (\cos x + \cos(3x)) = 2$

$\cos x + \cos(3x) = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 0$

$2\cos(2x)\cos x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1,5$

Применим формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x + 1 + \cos 6x = 3$

$3 + (\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x) = 3$

$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0$

Сгруппируем и применим формулу суммы косинусов:

$(\cos 6x + \cos 2x) + \cos 4x = 0$

$2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \cos 4x = 0$

$2\cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0$

$\cos 4x (2\cos 2x + 1) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x - \cos 8x + \cos 6x = 1$

Перегруппируем слагаемые:

$(\cos 2x + \cos 6x) - \cos 8x = 1$

Применим формулу суммы косинусов:

$2\cos\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} - \cos 8x = 1$

$2\cos 4x \cos 2x - \cos 8x = 1$

Применим формулу двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ для $\cos 8x$:

$2\cos 4x \cos 2x - (2\cos^2 4x - 1) = 1$

$2\cos 4x \cos 2x - 2\cos^2 4x + 1 = 1$

$2\cos 4x (\cos 2x - \cos 4x) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = \cos 4x$. Это равенство выполняется, если $4x = \pm 2x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

a) $4x = 2x + 2\pi n \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

b) $4x = -2x + 2\pi n \implies 6x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Серия решений $x = \pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi n}{3}$ (при $n$ кратном 3).

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $1 - \cos x = \operatorname{tg} x - \sin x$

Область допустимых значений: $\cos x \neq 0$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$1 - \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x$

$1 - \cos x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right)$

$1 - \cos x = \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x}$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$:

$(1 - \cos x) - \frac{\sin x(1 - \cos x)}{\cos x} = 0$

$(1 - \cos x)\left(1 - \frac{\sin x}{\cos x}\right) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти решения входят в ОДЗ.

2) $1 - \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \implies \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin x + \sin 3x = 4\cos^2 x$

Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 4\cos^2 x$

$2\sin 2x \cos x = 4\cos^2 x$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2(2\sin x \cos x)\cos x = 4\cos^2 x$

$4\sin x \cos^2 x = 4\cos^2 x$

$4\sin x \cos^2 x - 4\cos^2 x = 0$

$4\cos^2 x (\sin x - 1) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Вторая серия решений является подмножеством первой (когда $k$ - четное число). Проверим, являются ли решения из первой серии, не входящие во вторую (когда $k$ - нечетное, т.е. $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$), решениями исходного уравнения. При $x = \frac{3\pi}{2}$: $\sin\frac{3\pi}{2} + \sin(3 \cdot \frac{3\pi}{2}) = -1 + \sin\frac{9\pi}{2} = -1 + 1 = 0$. Правая часть: $4\cos^2\frac{3\pi}{2} = 4 \cdot 0^2 = 0$. Равенство $0=0$ верно. Следовательно, все решения первой серии подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) $\cos 2x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$

Используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$:

$\cos^2 x - \sin^2 x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$

Разложим левую часть как разность квадратов:

$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$

$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - \sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 0$

$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x + \sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \sin x + \cos x = \sqrt{2}$.

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2} \implies \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$.

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений является подмножеством первой (когда $k$ - четное). Таким образом, общее решение - это первая серия.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7) $\sin^2 x + \sin^2 2x - \sin^2 3x - \sin^2 4x = 0$

Перегруппируем слагаемые:

$(\sin^2 x - \sin^2 3x) + (\sin^2 2x - \sin^2 4x) = 0$

Применим формулу $\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)$:

$\sin(x-3x)\sin(x+3x) + \sin(2x-4x)\sin(2x+4x) = 0$

$\sin(-2x)\sin(4x) + \sin(-2x)\sin(6x) = 0$

$-\sin(2x)\sin(4x) - \sin(2x)\sin(6x) = 0$

$-\sin(2x)(\sin(4x) + \sin(6x)) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(4x) + \sin(6x) = 0$. Применим формулу суммы синусов:

$2\sin\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 \implies 2\sin(5x)\cos x = 0$.

Это распадается еще на два уравнения:

a) $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

b) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$).

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

8) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2$

Применим формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} = 2$

$1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x + 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x = 4$

$4 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 4$

$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0$

Сгруппируем: $(\cos 2x + \cos 8x) + (\cos 4x + \cos 6x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов:

$2\cos\frac{2x+8x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} + 2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0$

$2\cos 5x \cos 3x + 2\cos 5x \cos x = 0$

$2\cos 5x (\cos 3x + \cos x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов еще раз:

$2\cos 5x (2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0$

$4\cos 5x \cos 2x \cos x = 0$

Уравнение распадается на три:

1) $\cos 5x = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

3) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

9) $\cos 9x = 2\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 3x\right)$

Используем формулу приведения $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$:

$\cos 9x = 2(-\cos 3x)$

$\cos 9x + 2\cos 3x = 0$

Применим формулу тройного угла $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$ для $\cos 9x = \cos(3 \cdot 3x)$:

$(4\cos^3(3x) - 3\cos(3x)) + 2\cos(3x) = 0$

$4\cos^3(3x) - \cos(3x) = 0$

$\cos(3x)(4\cos^2(3x) - 1) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

2) $4\cos^2(3x) - 1 = 0 \implies \cos^2(3x) = \frac{1}{4} \implies \cos(3x) = \pm\frac{1}{2}$

a) $\cos(3x) = \frac{1}{2} \implies 3x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

b) $\cos(3x) = -\frac{1}{2} \implies 3x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \implies x = \pm\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$

Решения из пункта 2) можно объединить. Заметим, что $\cos^2(A) = 1/4$ эквивалентно $2\cos(2A)+1=0$, т.е. $\cos(2A) = -1/2$. В нашем случае $\cos(6x) = -1/2$, откуда $6x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi j$, что дает $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi j}{3}, j \in \mathbb{Z}$. Эта серия включает в себя обе серии решений из 2a) и 2b).

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi j}{3}, j \in \mathbb{Z}$.

31.8. Решите уравнение:

1) $cos^2 6x + cos^2 5x = 1;$

2) $cos^2 x - sin^2 2x + cos^2 3x = \frac{1}{2};$

3) $cos 2x - cos 4x = sin 6x;$

4) $sin 2x + cos 2x = \sqrt{2} sin x,$

5) $cos^2 x + cos^2 2x = cos^2 3x + cos^2 4x;$

6) $sin 6x = 2cos \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right).$

1) $\cos^2 6x + \cos^2 5x = 1$

Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(12x)}{2} + \frac{1 + \cos(10x)}{2} = 1$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 + \cos(12x) + 1 + \cos(10x) = 2$

$\cos(12x) + \cos(10x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{12x+10x}{2}\cos\frac{12x-10x}{2} = 0$

$2\cos(11x)\cos(x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos(11x) = 0 \implies 11x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{22} + \frac{\pi n}{11}$

2) $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{22} + \frac{\pi n}{11}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^2 x - \sin^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2}$

Используем формулы понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} - \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$(1 + \cos(2x)) - (1 - \cos(4x)) + (1 + \cos(6x)) = 1$

$1 + \cos(2x) - 1 + \cos(4x) + 1 + \cos(6x) = 1$

$\cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов:

$(\cos(6x) + \cos(2x)) + \cos(4x) = 0$

$2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \cos(4x) = 0$

$2\cos(4x)\cos(2x) + \cos(4x) = 0$

Вынесем $\cos(4x)$ за скобки:

$\cos(4x)(2\cos(2x) + 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $\cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$

2) $2\cos(2x) + 1 = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x - \cos 4x = \sin 6x$

Применим к левой части формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$-2\sin\frac{2x+4x}{2}\sin\frac{2x-4x}{2} = \sin 6x$

$-2\sin(3x)\sin(-x) = \sin 6x$

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$2\sin(3x)\sin(x) = \sin 6x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для правой части:

$2\sin(3x)\sin(x) = 2\sin(3x)\cos(3x)$

$2\sin(3x)\sin(x) - 2\sin(3x)\cos(3x) = 0$

$2\sin(3x)(\sin(x) - \cos(3x)) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $\sin(3x) = 0 \implies 3x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{3}$

2) $\sin(x) - \cos(3x) = 0 \implies \sin(x) = \cos(3x)$

Используем формулу приведения $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2}-x)$:

$\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(3x)$

Из равенства косинусов следует $\frac{\pi}{2}-x = \pm 3x + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

a) $\frac{\pi}{2}-x = 3x + 2\pi k \implies 4x = \frac{\pi}{2} - 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$

б) $\frac{\pi}{2}-x = -3x + 2\pi k \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}$, $x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin x$

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. $a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)$.

Здесь $a=1, b=1$, поэтому $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. $\phi = \frac{\pi}{4}$.

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x) = \sqrt{2} \sin x$

$\sqrt{2}(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin x$

$\sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin x$

$\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sin x$

Из равенства синусов следуют два случая:

1) $2x + \frac{\pi}{4} = x + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

2) $2x + \frac{\pi}{4} = \pi - x + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x + \cos^2 4x$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{1+\cos 6x}{2} + \frac{1+\cos 8x}{2}$

Умножим на 2 и упростим:

$1+\cos 2x + 1+\cos 4x = 1+\cos 6x + 1+\cos 8x$

$\cos 2x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$(\cos 2x - \cos 8x) + (\cos 4x - \cos 6x) = 0$

Применим формулу разности косинусов:

$-2\sin\frac{2x+8x}{2}\sin\frac{2x-8x}{2} - 2\sin\frac{4x+6x}{2}\sin\frac{4x-6x}{2} = 0$

$-2\sin(5x)\sin(-3x) - 2\sin(5x)\sin(-x) = 0$

$2\sin(5x)\sin(3x) + 2\sin(5x)\sin(x) = 0$

$2\sin(5x)(\sin(3x) + \sin(x)) = 0$

К выражению в скобках применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\sin(5x)(2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0$

$4\sin(5x)\sin(2x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

3) $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z}$. Эта серия решений является подмножеством второй серии (при нечетных $k$).

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}$, $x = \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 6x = 2\cos(\frac{3\pi}{2} + 2x)$

Используем формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 6x = 2\sin(2x)$

Применим формулу синуса тройного угла $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ для левой части, где $\alpha = 2x$:

$\sin(3 \cdot 2x) = 2\sin(2x)$

$3\sin(2x) - 4\sin^3(2x) = 2\sin(2x)$

$\sin(2x) - 4\sin^3(2x) = 0$

Вынесем $\sin(2x)$ за скобки:

$\sin(2x)(1 - 4\sin^2(2x)) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{2}$

2) $1 - 4\sin^2(2x) = 0 \implies \sin^2(2x) = \frac{1}{4} \implies \sin(2x) = \pm \frac{1}{2}$

Это равносильно совокупности $2x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

31.9. Решите неравенство:

1) $\frac{3}{x+2} \ge \frac{5}{2-x}$;

2) $\frac{2}{1-2x} \le \frac{3}{x+5}$.

1) $\frac{3}{x+2} \ge \frac{5}{2-x}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$

$2-x \ne 0 \implies x \ne 2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{3}{x+2} - \frac{5}{2-x} \ge 0$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $2-x = -(x-2)$.

$\frac{3}{x+2} + \frac{5}{x-2} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$:

$\frac{3(x-2) + 5(x+2)}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3x - 6 + 5x + 10}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

$\frac{8x + 4}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $8x + 4 = 0 \implies 8x = -4 \implies x = -0,5$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет включена в решение (закрашенная точка на числовой оси).

Корни знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$ и $x-2=0 \implies x=2$. Эти точки не входят в ОДЗ (выколотые точки на числовой оси).

Нанесем точки $-2, -0,5, 2$ на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{8x + 4}{(x+2)(x-2)}$ в полученных интервалах:

- при $x \in (2, +\infty)$ (возьмем $x=3$): $\frac{8(3)+4}{(3+2)(3-2)} = \frac{28}{5} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-0,5, 2)$ (возьмем $x=0$): $\frac{8(0)+4}{(0+2)(0-2)} = \frac{4}{-4} = -1 < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-2, -0,5)$ (возьмем $x=-1$): $\frac{8(-1)+4}{(-1+2)(-1-2)} = \frac{-4}{-3} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-\infty, -2)$ (возьмем $x=-3$): $\frac{8(-3)+4}{(-3+2)(-3-2)} = \frac{-20}{5} = -4 < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знаки "+"). Это объединение интервалов $(-2, -0,5]$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2; -0,5] \cup (2; +\infty)$.

2) $\frac{2}{1-2x} \le \frac{3}{x+5}$

Найдем ОДЗ:

$1-2x \ne 0 \implies 2x \ne 1 \implies x \ne \frac{1}{2}$

$x+5 \ne 0 \implies x \ne -5$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2}{1-2x} - \frac{3}{x+5} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-2x)(x+5)$:

$\frac{2(x+5) - 3(1-2x)}{(1-2x)(x+5)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2x + 10 - 3 + 6x}{(1-2x)(x+5)} \le 0$

$\frac{8x + 7}{(1-2x)(x+5)} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $8x + 7 = 0 \implies 8x = -7 \implies x = -\frac{7}{8}$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение (закрашенная точка).

Корни знаменателя: $1-2x=0 \implies x=\frac{1}{2}$ и $x+5=0 \implies x=-5$. Эти точки не входят в ОДЗ (выколотые точки).

Нанесем точки $-5, -\frac{7}{8}, \frac{1}{2}$ на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{8x + 7}{(1-2x)(x+5)}$ в полученных интервалах:

- при $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$ (возьмем $x=1$): $\frac{8(1)+7}{(1-2(1))(1+5)} = \frac{15}{(-1)(6)} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\frac{7}{8}, \frac{1}{2})$ (возьмем $x=0$): $\frac{8(0)+7}{(1-2(0))(0+5)} = \frac{7}{5} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-5, -\frac{7}{8})$ (возьмем $x=-1$): $\frac{8(-1)+7}{(1-2(-1))(-1+5)} = \frac{-1}{(3)(4)} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty, -5)$ (возьмем $x=-6$): $\frac{8(-6)+7}{(1-2(-6))(-6+5)} = \frac{-41}{(13)(-1)} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знаки "-"). Это объединение интервалов $(-5, -\frac{7}{8}]$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; -\frac{7}{8}] \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

31.10. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как $5 : 2$ и $3 : 4$. Сколько надо взять килограммов первого сплава и сколько второго, чтобы, сплавив их, получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

Пусть масса первого сплава, которую необходимо взять, составляет $x$ кг, а масса второго сплава — $y$ кг. Согласно условию, общая масса нового сплава равна 28 кг, из чего следует первое уравнение:
$x + y = 28$

Определим содержание меди и цинка в каждом из сплавов.
В первом сплаве соотношение масс меди и цинка равно 5:2. Это значит, что сплав состоит из $5+2=7$ частей. Доля меди в этом сплаве составляет $\frac{5}{7}$, а доля цинка — $\frac{2}{7}$. Следовательно, в $x$ кг первого сплава содержится $\frac{5}{7}x$ кг меди и $\frac{2}{7}x$ кг цинка.
Во втором сплаве соотношение масс меди и цинка равно 3:4. Этот сплав состоит из $3+4=7$ частей. Доля меди в нем составляет $\frac{3}{7}$, а доля цинка — $\frac{4}{7}$. Следовательно, в $y$ кг второго сплава содержится $\frac{3}{7}y$ кг меди и $\frac{4}{7}y$ кг цинка.

В конечном сплаве массой 28 кг должно быть равное содержание меди и цинка. Это означает, что масса каждого металла должна составлять половину от общей массы:
Масса меди = $28 \div 2 = 14$ кг.
Масса цинка = $28 \div 2 = 14$ кг.

Суммарная масса меди из двух исходных сплавов должна быть равна 14 кг. Это позволяет нам составить второе уравнение:
$\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 28 \\ \frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14 \end{cases} $
Умножим обе части второго уравнения на 7, чтобы избавиться от дробей:
$5x + 3y = 98$
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 28 - x$
Подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:
$5x + 3(28 - x) = 98$
$5x + 84 - 3x = 98$
$2x = 98 - 84$
$2x = 14$
$x = 7$

Мы нашли массу первого сплава, она равна 7 кг. Теперь найдем массу второго сплава:
$y = 28 - 7 = 21$
Таким образом, для получения требуемого сплава необходимо взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго.

Ответ: необходимо взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго.