Страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Решите уравнение:

1) $\sin x + \cos x = 1 + \sin x \cos x;$ 2) $2\sin 2x = 3(\sin x + \cos x).$

1) $\sin x + \cos x = 1 + \sin x \cos x$

Это симметрическое тригонометрическое уравнение. Для его решения введем замену: пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части замены в квадрат:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$t^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

Отсюда выразим произведение $\sin x \cos x$:

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

Теперь подставим выражения для $t$ и $\sin x \cos x$ в исходное уравнение:

$t = 1 + \frac{t^2 - 1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $t$. Умножим обе части на 2:

$2t = 2 + t^2 - 1$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(t - 1)^2 = 0$

Отсюда $t = 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\sin x + \cos x = 1$

Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно переписать в виде:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ - четное, $n = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k$

2. Если $n$ - нечетное, $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Таким образом, получаем две серии решений.

Ответ: $x = 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin 2x = 3(\sin x + \cos x)$

Как и в предыдущем уравнении, используем замену $t = \sin x + \cos x$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Из предыдущего решения мы знаем, что $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$, следовательно:

$\sin 2x = 2 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} = t^2 - 1$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2(t^2 - 1) = 3t$

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$t_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь нужно проверить, могут ли полученные значения $t$ быть равными выражению $\sin x + \cos x$.

Область значений функции $y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то:

1. Значение $t_2 = 2$ не входит в область значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, так как $2 > \sqrt{2}$. Следовательно, уравнение $\sin x + \cos x = 2$ не имеет решений.

2. Значение $t_1 = -\frac{1}{2}$ входит в область значений, так как $-\sqrt{2} \le -\frac{1}{2} \le \sqrt{2}$.

Таким образом, нам нужно решить уравнение:

$\sin x + \cos x = -\frac{1}{2}$

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

Общее решение этого уравнения:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = -(-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{4} - (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$

Это выражение можно записать как $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решите уравнение:

1) $ \sin 3x \cos 2x = \sin 5x; $

2) $ 2\cos(x + 20^\circ)\cos x = \cos 40^\circ. $

1) $sin3x \cdot cos2x = sin5x$

Перенесем $sin5x$ в левую часть уравнения и представим его как синус суммы двух углов, $sin(3x+2x)$.

$sin3x \cdot cos2x - sin(3x+2x) = 0$

Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.

$sin3x \cdot cos2x - (sin3x \cdot cos2x + cos3x \cdot sin2x) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$sin3x \cdot cos2x - sin3x \cdot cos2x - cos3x \cdot sin2x = 0$

$-cos3x \cdot sin2x = 0$

$cos3x \cdot sin2x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

a) $cos3x = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

б) $sin2x = 0$

Это также частный случай.

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя оба решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, x = \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2cos(x+20^{\circ})cosx = cos40^{\circ}$

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $2cos\alpha \cdot cos\beta = cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta)$.

В нашем случае $\alpha = x+20^{\circ}$ и $\beta = x$.

$cos((x+20^{\circ})+x) + cos((x+20^{\circ})-x) = cos40^{\circ}$

Упростим выражение в левой части:

$cos(2x+20^{\circ}) + cos(20^{\circ}) = cos40^{\circ}$

Выразим $cos(2x+20^{\circ})$:

$cos(2x+20^{\circ}) = cos40^{\circ} - cos20^{\circ}$

Теперь преобразуем разность косинусов в правой части в произведение по формуле: $cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$cos40^{\circ} - cos20^{\circ} = -2sin\frac{40^{\circ}+20^{\circ}}{2}sin\frac{40^{\circ}-20^{\circ}}{2} = -2sin30^{\circ}sin10^{\circ}$

Зная, что $sin30^{\circ} = \frac{1}{2}$, получаем:

$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot sin10^{\circ} = -sin10^{\circ}$

Уравнение принимает вид:

$cos(2x+20^{\circ}) = -sin10^{\circ}$

Используем формулу приведения $ -sin\alpha = cos(90^{\circ}+\alpha) $:

$cos(2x+20^{\circ}) = cos(90^{\circ}+10^{\circ})$

$cos(2x+20^{\circ}) = cos(100^{\circ})$

Решаем уравнение вида $cos(A)=cos(B)$, которое имеет решения $A = \pm B + 360^{\circ}k$.

$2x+20^{\circ} = \pm 100^{\circ} + 360^{\circ}k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

a) $2x+20^{\circ} = 100^{\circ} + 360^{\circ}k$

$2x = 80^{\circ} + 360^{\circ}k$

$x = 40^{\circ} + 180^{\circ}k$, где $k \in \mathbb{Z}$

б) $2x+20^{\circ} = -100^{\circ} + 360^{\circ}k$

$2x = -120^{\circ} + 360^{\circ}k$

$x = -60^{\circ} + 180^{\circ}k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 40^{\circ} + 180^{\circ}k, x = -60^{\circ} + 180^{\circ}k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Решите уравнение:

1) $ \sin^3 4x + \cos^3 4x = 1 - 0.5 \sin 8x; $

2) $ \sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x = 2 \cos 5x; $

3) $ \cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}(\cos^4 2x - \sin^4 2x). $

1) $\sin^3 4x + \cos^3 4x = 1 - 0,5\sin 8x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\sin^3 4x + \cos^3 4x = (\sin 4x + \cos 4x)(\sin^2 4x - \sin 4x \cos 4x + \cos^2 4x)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$(\sin 4x + \cos 4x)(1 - \sin 4x \cos 4x)$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для нашего случая $\sin 8x = 2\sin 4x \cos 4x$.

Отсюда $\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2}\sin 8x = 0,5\sin 8x$.

Подставим это выражение в преобразованную левую часть и приравняем к правой части исходного уравнения:

$(\sin 4x + \cos 4x)(1 - 0,5\sin 8x) = 1 - 0,5\sin 8x$.

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(1 - 0,5\sin 8x)$ за скобки:

$(\sin 4x + \cos 4x)(1 - 0,5\sin 8x) - (1 - 0,5\sin 8x) = 0$;

$(1 - 0,5\sin 8x)(\sin 4x + \cos 4x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $1 - 0,5\sin 8x = 0$.

$0,5\sin 8x = 1$;

$\sin 8x = 2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синуса $[-1, 1]$.

Случай 2: $\sin 4x + \cos 4x - 1 = 0$.

$\sin 4x + \cos 4x = 1$.

Это уравнение вида $a\sin u + b\cos u = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x) = 1$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем записать:

$\sin 4x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 4x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Отсюда получаем две серии решений:

а) $4x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$4x = 2\pi k$

$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $4x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$4x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x = 2\cos 5x$

Преобразуем левую часть уравнения методом введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$:

$2(\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 3x) = 2\cos 5x$.

Так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2(\sin 3x \cos\frac{\pi}{3} + \cos 3x \sin\frac{\pi}{3}) = 2\cos 5x$.

Применяем формулу синуса суммы:

$2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = 2\cos 5x$.

$\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \cos 5x$.

Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x)$.

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi n$.

Случай 1:

$3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$8x = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$3x + \frac{\pi}{3} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

$3x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi n$

$3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi n$

$-2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} - \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}, x = -\frac{\pi}{12} - \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}(\cos^4 2x - \sin^4 2x)$

Рассмотрим выражение в скобках в правой части. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\cos^4 2x - \sin^4 2x = (\cos^2 2x - \sin^2 2x)(\cos^2 2x + \sin^2 2x)$.

Используем тождества $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$(\cos(2 \cdot 2x))(1) = \cos 4x$.

Уравнение принимает вид:

$\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}\cos 4x$.

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла, вынеся за скобки $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x) = \sqrt{2}\cos 4x$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x = \cos 4x$.

Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\cos\frac{\pi}{4}$ и $\sin\frac{\pi}{4}$:

$\cos 2x \cos\frac{\pi}{4} + \sin 2x \sin\frac{\pi}{4} = \cos 4x$.

Применяя формулу косинуса разности $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$, получаем:

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \cos 4x$.

Равенство косинусов $\cos A = \cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi k$.

Случай 1:

$2x - \frac{\pi}{4} = 4x + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$-2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

(Эту серию можно записать как $x = -\frac{\pi}{8} + \pi m$, где $m=-k \in \mathbb{Z}$)

Случай 2:

$2x - \frac{\pi}{4} = -4x + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

$6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} - \pi k, x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4. Решите уравнение $ \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16} $

Исходное уравнение: $ \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16} $.

Сначала проверим случай, когда $\sin x = 0$. Это происходит при $x = k\pi$ для любого целого $k$. В этом случае левая часть уравнения принимает вид:
$ \cos(k\pi) \cos(2k\pi) \cos(4k\pi) \cos(8k\pi) = (-1)^k \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = (-1)^k $.
Тогда уравнение становится $(-1)^k = \frac{1}{16}$, что не имеет решений. Следовательно, $\sin x \neq 0$.

Так как $\sin x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $16 \sin x$.

$$ 16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 16 \sin x \cdot \frac{1}{16} $$

$$ 16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x $$

Последовательно применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ к левой части, получаем:

$ 16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 8 \cdot (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 8 \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x $
$ = 4 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x \cos 8x = 4 \sin 4x \cos 4x \cos 8x $
$ = 2 \cdot (2 \sin 4x \cos 4x) \cos 8x = 2 \sin 8x \cos 8x = \sin 16x $.

Таким образом, уравнение преобразуется к виду:

$$ \sin 16x = \sin x $$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности синусов $ \sin A - \sin B = 2 \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $:

$$ \sin 16x - \sin x = 0 $$

$$ 2 \sin\left(\frac{16x-x}{2}\right) \cos\left(\frac{16x+x}{2}\right) = 0 $$

$$ \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cos\left(\frac{17x}{2}\right) = 0 $$

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $ \sin\left(\frac{15x}{2}\right) = 0 \implies \frac{15x}{2} = m\pi \implies x = \frac{2m\pi}{15} $, где $m \in \mathbb{Z}$.

2) $ \cos\left(\frac{17x}{2}\right) = 0 \implies \frac{17x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{17} $, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо исключить из этих решений те, для которых $\sin x = 0$ (то есть $x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$), так как они являются посторонними, привнесенными при умножении на $\sin x$.

Для первой серии корней $x = \frac{2m\pi}{15}$: условие $x=k\pi$ дает $\frac{2m\pi}{15} = k\pi$, или $2m = 15k$. Так как 2 и 15 взаимно просты, это равенство выполняется, когда $m$ кратно 15 ($m=15j$ для $j \in \mathbb{Z}$). Эти значения $m$ нужно исключить.

Для второй серии корней $x = \frac{(2n+1)\pi}{17}$: условие $x=k\pi$ дает $\frac{(2n+1)\pi}{17} = k\pi$, или $2n+1 = 17k$. Так как левая часть нечетна, правая тоже должна быть нечетной, что возможно только при нечетном $k$. Пусть $k=2j+1$ для $j \in \mathbb{Z}$. Тогда $2n+1=17(2j+1)=34j+17$, откуда $2n=34j+16$, то есть $n=17j+8$. Эти значения $n$ нужно исключить.

Ответ: $x = \frac{2m\pi}{15}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $m$ не кратно 15; $x = \frac{(2n+1)\pi}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 17j+8$ для любого $j \in \mathbb{Z}$.

5. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0;$

2) $\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0.$

1) $\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} \sin^2 x + \sin x = 0, \\ 1 + \cos x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\sin^2 x + \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим условие из знаменателя (область допустимых значений, ОДЗ):

$1 + \cos x \neq 0$

$\cos x \neq -1$

$x \neq \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Проверим найденные серии корней на соответствие ОДЗ.

Для серии корней $x = \pi k$:

• Если $k$ — четное число ($k = 2m$), то $x = 2\pi m$. В этом случае $\cos x = \cos(2\pi m) = 1$. Условие $\cos x \neq -1$ выполняется. Значит, корни вида $x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ являются решениями.
• Если $k$ — нечетное число ($k = 2m + 1$), то $x = \pi(2m + 1) = \pi + 2\pi m$. В этом случае $\cos x = \cos(\pi + 2\pi m) = -1$. Условие $\cos x \neq -1$ не выполняется. Эти корни необходимо исключить.

Для серии корней $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$:

• В этом случае $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$. Условие $\cos x \neq -1$ выполняется. Значит, все корни этой серии являются решениями.

Объединяя все подходящие корни, получаем окончательный ответ.

Ответ: $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 8 \sin x \cos x \sin 2x - 1 = 0, \\ \sqrt{3} + 2 \sin 4x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$8 \sin x \cos x \sin 2x - 1 = 0$

$4 \cdot (2 \sin x \cos x) \cdot \sin 2x - 1 = 0$

$4 \sin 2x \cdot \sin 2x - 1 = 0$

$4 \sin^2 2x - 1 = 0$

$\sin^2 2x = \frac{1}{4}$

Для дальнейшего решения удобно использовать формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 - \cos 4x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\cos 4x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, получаем:

$4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим ОДЗ из знаменателя:

$\sqrt{3} + 2 \sin 4x \neq 0$

$2 \sin 4x \neq -\sqrt{3}$

$\sin 4x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Проверим, какие из найденных решений удовлетворяют этому условию. Мы знаем, что для наших решений $\cos 4x = \frac{1}{2}$. Найдем соответствующее значение $\sin 4x$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\sin^2 4x + (\frac{1}{2})^2 = 1 \implies \sin^2 4x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies \sin 4x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам нужно исключить те корни, для которых $\sin 4x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим две серии решений $4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• Если $4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, то $\sin 4x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.
• Если $4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, то $\sin 4x = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ, поэтому данную серию корней необходимо исключить.

Таким образом, решением является только одна серия:

$4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 4, получим:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

6. Решите уравнение:

1) $2\cos\frac{x^2+2x}{6} = x^2+4x+6$;

2) $\sin\frac{\pi x}{4} = x^2-4x+5$.

1) $2\cos{\frac{x^2+2x}{6}} = x^2+4x+6$

Данное уравнение решается методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения по отдельности.

Левая часть: $f(x) = 2\cos{\frac{x^2+2x}{6}}$.
Область значений функции косинус лежит в промежутке $[-1, 1]$. То есть, для любого аргумента $t$ выполняется неравенство $-1 \le \cos{t} \le 1$.
В нашем случае, $-1 \le \cos{\frac{x^2+2x}{6}} \le 1$.
Умножив все части неравенства на 2, получаем, что область значений левой части уравнения: $[-2, 2]$.
Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется $2\cos{\frac{x^2+2x}{6}} \le 2$.

Правая часть: $g(x) = x^2+4x+6$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине.
Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Ордината вершины, которая и является наименьшим значением функции: $y_0 = g(x_0) = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$.
Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется $x^2+4x+6 \ge 2$.

Итак, мы имеем уравнение $f(x) = g(x)$, где $f(x) \le 2$ и $g(x) \ge 2$.
Равенство возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 2. Это приводит к системе уравнений:
$ \begin{cases} 2\cos{\frac{x^2+2x}{6}} = 2 \\ x^2+4x+6 = 2 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$x^2+4x+6 = 2$
$x^2+4x+4 = 0$
$(x+2)^2 = 0$
$x = -2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x = -2$ первому уравнению системы. Подставим $x=-2$ в первое уравнение:
$2\cos{\frac{(-2)^2+2(-2)}{6}} = 2$
$2\cos{\frac{4-4}{6}} = 2$
$2\cos{\frac{0}{6}} = 2$
$2\cos{0} = 2$
$2 \cdot 1 = 2$
$2 = 2$

Равенство верное. Следовательно, $x=-2$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: -2.

2) $\sin{\frac{\pi x}{4}} = x^2-4x+5$

Для решения этого уравнения также применим метод оценки левой и правой частей.

Левая часть: $f(x) = \sin{\frac{\pi x}{4}}$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin{\frac{\pi x}{4}} \le 1$.

Правая часть: $g(x) = x^2-4x+5$.
Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, которое достигается в вершине.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины (наименьшее значение функции): $y_0 = g(x_0) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2-4x+5 \ge 1$.

Мы получили, что левая часть уравнения не превышает 1 ($f(x) \le 1$), а правая часть не меньше 1 ($g(x) \ge 1$). Равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sin{\frac{\pi x}{4}} = 1 \\ x^2-4x+5 = 1 \end{cases} $

Решим второе, более простое, уравнение системы:
$x^2-4x+5 = 1$
$x^2-4x+4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$

Теперь проверим, является ли $x=2$ решением первого уравнения системы. Подставим это значение в первое уравнение:
$\sin{\frac{\pi \cdot 2}{4}} = 1$
$\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$
$1 = 1$

Равенство является верным. Значит, $x=2$ — единственный корень исходного уравнения.

Ответ: 2.