Номер 6, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6. Решите уравнение:

1) $2\cos\frac{x^2+2x}{6} = x^2+4x+6$;

2) $\sin\frac{\pi x}{4} = x^2-4x+5$.

1) $2\cos{\frac{x^2+2x}{6}} = x^2+4x+6$

Данное уравнение решается методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения по отдельности.

Левая часть: $f(x) = 2\cos{\frac{x^2+2x}{6}}$.
Область значений функции косинус лежит в промежутке $[-1, 1]$. То есть, для любого аргумента $t$ выполняется неравенство $-1 \le \cos{t} \le 1$.
В нашем случае, $-1 \le \cos{\frac{x^2+2x}{6}} \le 1$.
Умножив все части неравенства на 2, получаем, что область значений левой части уравнения: $[-2, 2]$.
Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется $2\cos{\frac{x^2+2x}{6}} \le 2$.

Правая часть: $g(x) = x^2+4x+6$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине.
Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Ордината вершины, которая и является наименьшим значением функции: $y_0 = g(x_0) = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$.
Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется $x^2+4x+6 \ge 2$.

Итак, мы имеем уравнение $f(x) = g(x)$, где $f(x) \le 2$ и $g(x) \ge 2$.
Равенство возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 2. Это приводит к системе уравнений:
$ \begin{cases} 2\cos{\frac{x^2+2x}{6}} = 2 \\ x^2+4x+6 = 2 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$x^2+4x+6 = 2$
$x^2+4x+4 = 0$
$(x+2)^2 = 0$
$x = -2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x = -2$ первому уравнению системы. Подставим $x=-2$ в первое уравнение:
$2\cos{\frac{(-2)^2+2(-2)}{6}} = 2$
$2\cos{\frac{4-4}{6}} = 2$
$2\cos{\frac{0}{6}} = 2$
$2\cos{0} = 2$
$2 \cdot 1 = 2$
$2 = 2$

Равенство верное. Следовательно, $x=-2$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: -2.

2) $\sin{\frac{\pi x}{4}} = x^2-4x+5$

Для решения этого уравнения также применим метод оценки левой и правой частей.

Левая часть: $f(x) = \sin{\frac{\pi x}{4}}$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin{\frac{\pi x}{4}} \le 1$.

Правая часть: $g(x) = x^2-4x+5$.
Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, которое достигается в вершине.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины (наименьшее значение функции): $y_0 = g(x_0) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2-4x+5 \ge 1$.

Мы получили, что левая часть уравнения не превышает 1 ($f(x) \le 1$), а правая часть не меньше 1 ($g(x) \ge 1$). Равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sin{\frac{\pi x}{4}} = 1 \\ x^2-4x+5 = 1 \end{cases} $

Решим второе, более простое, уравнение системы:
$x^2-4x+5 = 1$
$x^2-4x+4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$

Теперь проверим, является ли $x=2$ решением первого уравнения системы. Подставим это значение в первое уравнение:
$\sin{\frac{\pi \cdot 2}{4}} = 1$
$\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$
$1 = 1$

Равенство является верным. Значит, $x=2$ — единственный корень исходного уравнения.

Ответ: 2.