Номер 32.3, страница 234 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.3. Решите неравенство:

1) $sin 2x > \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $tg\left(-\frac{x}{4}\right) < \sqrt{3};$

3) $ctg 5x > 1;$

4) $cos(-3x) > \frac{1}{3}.$

1) Решим неравенство $\sin 2x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену $t = 2x$. Неравенство примет вид $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решение этого простейшего тригонометрического неравенства можно найти с помощью единичной окружности. Значениям синуса соответствуют ординаты (y-координаты) точек на окружности.
Найдём углы, для которых $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Неравенство $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для углов, расположенных на дуге единичной окружности выше прямой $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, решение для $t$ на одном обороте: $\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$.
С учётом периодичности функции синус (период $2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 2:
$\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\text{tg}(-\frac{x}{4}) < \sqrt{3}$.
Функция тангенс является нечётной, то есть $\text{tg}(-a) = -\text{tg}(a)$. Используем это свойство:
$-\text{tg}\left(\frac{x}{4}\right) < \sqrt{3}$.
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\text{tg}\left(\frac{x}{4}\right) > -\sqrt{3}$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{4}$. Неравенство примет вид $\text{tg} t > -\sqrt{3}$.
Найдём угол, для которого $\text{tg} t = -\sqrt{3}$. Это угол $t = \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Функция тангенс определена при $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и является возрастающей на каждом интервале области определения.
Решение неравенства $\text{tg} t > -\sqrt{3}$ с учетом периодичности (период $\pi$) и области определения:
$-\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = \frac{x}{4}$:
$-\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Умножим все части двойного неравенства на 4:
$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k < x < 2\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k; 2\pi + 4\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $\text{ctg} 5x > 1$.
Сделаем замену $t = 5x$. Неравенство примет вид $\text{ctg} t > 1$.
Найдём угол, для которого $\text{ctg} t = 1$. Это угол $t = \text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Функция котангенс определена при $t \neq \pi k$ и является убывающей на каждом интервале области определения.
Решение неравенства $\text{ctg} t > 1$ с учетом периодичности (период $\pi$) и области определения:
$\pi k < t < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 5x$:
$\pi k < 5x < \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Разделим все части двойного неравенства на 5:
$\frac{\pi k}{5} < x < \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{\pi k}{5}; \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}\right), k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $\cos(-3x) > \frac{1}{3}$.
Функция косинус является чётной, то есть $\cos(-a) = \cos(a)$. Используем это свойство:
$\cos(3x) > \frac{1}{3}$.
Сделаем замену $t = 3x$. Неравенство примет вид $\cos t > \frac{1}{3}$.
Решение этого простейшего тригонометрического неравенства можно найти с помощью единичной окружности. Значениям косинуса соответствуют абсциссы (x-координаты) точек на окружности.
Найдём углы, для которых $\cos t = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3}$ не является табличным значением, используем арккосинус. Это углы $t_1 = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$ и $t_2 = -\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.
Неравенство $\cos t > \frac{1}{3}$ выполняется для углов, расположенных на дуге единичной окружности правее прямой $x=\frac{1}{3}$.
Таким образом, решение для $t$ на одном обороте: $-\arccos\left(\frac{1}{3}\right) < t < \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.
С учётом периодичности функции косинус (период $2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:
$-\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k < t < \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 3x$:
$-\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k < 3x < \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$.
Разделим все части двойного неравенства на 3:
$-\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi k}{3}; \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi k}{3}\right), k \in \mathbb{Z}$.