Номер 32.4, страница 234 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.4. Решите неравенство:

1) $ \sin \frac{x}{3} < \frac{1}{2} $

2) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3} $

3) $ \operatorname{tg} 2x < -\frac{\sqrt{3}}{3} $

4) $ \cos 4x < \frac{1}{4} $

1) Решим неравенство $\sin\frac{x}{3} < \frac{1}{2}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{3}$. Неравенство принимает вид $\sin t < \frac{1}{2}$.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал, который можно найти с помощью единичной окружности. Значения синуса соответствуют ординате (координате y) точек на окружности. Нам нужны точки, у которых ордината меньше $\frac{1}{2}$.
Найдём углы, для которых $\sin t = \frac{1}{2}$. Это $t_1 = \arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенство $\sin t < \frac{1}{2}$ выполняется для углов $t$, лежащих на дуге окружности, соответствующей интервалу от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота.С учётом периодичности синуса (период $2\pi$), общее решение для $t$ можно записать как:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, что эквивалентно $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $t = \frac{x}{3}$:
$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на 3, чтобы выразить $x$:
$3 \cdot (-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n) < x < 3 \cdot (\frac{\pi}{6} + 2\pi n)$.
$-\frac{7\pi}{2} + 6\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{7\pi}{2} + 6\pi n; \frac{\pi}{2} + 6\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\text{ctg}(-\frac{x}{2}) > \sqrt{3}$.
Используем свойство нечётности котангенса: $\text{ctg}(-a) = -\text{ctg}(a)$.
Неравенство принимает вид: $-\text{ctg}(\frac{x}{2}) > \sqrt{3}$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\text{ctg}(\frac{x}{2}) < -\sqrt{3}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{2}$. Неравенство принимает вид $\text{ctg} t < -\sqrt{3}$.
Область определения котангенса: $t \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Период котангенса равен $\pi$.
Найдём угол, для которого $\text{ctg} t = -\sqrt{3}$. Этот угол равен $t = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Функция котангенса является убывающей на каждом интервале своей области определения $(\pi k, \pi + \pi k)$.
Поэтому решение неравенства $\text{ctg} t < -\sqrt{3}$ на основном интервале $(0, \pi)$ будет $\frac{5\pi}{6} < t < \pi$.
С учётом периодичности, общее решение для $t$ имеет вид:
$\frac{5\pi}{6} + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вернёмся к переменной $x$, подставив $t = \frac{x}{2}$:
$\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{2} < \pi + \pi n$.
Умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot (\frac{5\pi}{6} + \pi n) < x < 2 \cdot (\pi + \pi n)$.
$\frac{5\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $\text{tg}(2x) < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $\text{tg} t < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Область определения тангенса: $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Период тангенса равен $\pi$.
Найдём угол, для которого $\text{tg} t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этот угол равен $t = \text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Функция тангенса является возрастающей на каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$.
Решение неравенства $\text{tg} t < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ будет $-\frac{\pi}{2} < t < -\frac{\pi}{6}$.
С учётом периодичности, общее решение для $t$ имеет вид:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вернёмся к переменной $x$, подставив $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x < -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 2:
$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\pi}{2} + \pi n) < x < \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\pi}{6} + \pi n)$.
$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $\cos(4x) < \frac{1}{4}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4x$. Неравенство принимает вид $\cos t < \frac{1}{4}$.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал, который можно найти с помощью единичной окружности. Значения косинуса соответствуют абсциссе (координате x) точек на окружности. Нам нужны точки, у которых абсцисса меньше $\frac{1}{4}$.
Найдём углы, для которых $\cos t = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4}$ не является табличным значением, используем арккосинус. Углы равны $t_1 = \arccos(\frac{1}{4})$ и $t_2 = -\arccos(\frac{1}{4})$.
Неравенство $\cos t < \frac{1}{4}$ выполняется для углов $t$, лежащих на дуге окружности от точки, соответствующей углу $\arccos(\frac{1}{4})$, против часовой стрелки до точки, соответствующей углу $2\pi - \arccos(\frac{1}{4})$.
Таким образом, с учётом периодичности косинуса (период $2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:
$\arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $t = 4x$:
$\arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n < 4x < 2\pi - \arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n$.
Разделим все части неравенства на 4, чтобы выразить $x$:
$\frac{1}{4}(\arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n) < x < \frac{1}{4}(2\pi - \arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n)$.
$\frac{1}{4}\arccos(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arccos(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{1}{4}\arccos(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arccos(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.