Номер 32.6, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.6. Решите неравенство:

1) $ \text{ctg}\left( x + \frac{\pi}{6} \right) \ge \sqrt{3}; $

2) $ \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ 2\sin\left( \frac{2\pi}{3} - x \right) < 1; $

4) $ \text{tg}\left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \right) < \frac{\sqrt{3}}{3}; $

5) $ \cos\left( x - \frac{\pi}{6} \right) \ge \frac{1}{2}; $

6) $ \sin\left( 4x + \frac{\pi}{5} \right) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}. $

1) Решим неравенство $ \ctg(x + \frac{\pi}{6}) \ge \sqrt{3} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = x + \frac{\pi}{6} $. Тогда неравенство принимает вид $ \ctg(t) \ge \sqrt{3} $.

Решениями этого неравенства являются значения $t$, удовлетворяющие условию $ \pi n < t \le \arcctg(\sqrt{3}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $, получаем $ \pi n < t \le \frac{\pi}{6} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$ \pi n < x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + \pi n $

Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей неравенства:

$ \pi n - \frac{\pi}{6} < x \le \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n $

$ -\frac{\pi}{6} + \pi n < x \le \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ (-\frac{\pi}{6} + \pi n, \pi n] $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Пусть $ t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид $ \cos(t) < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решения этого неравенства: $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $, получаем:

$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < 2\pi - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Подставим обратно $ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} $ вместо $t$:

$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $

Вычтем $ \frac{\pi}{3} $ из всех частей:

$ \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ \frac{9\pi - 4\pi}{12} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{15\pi - 4\pi}{12} + 2\pi n $

$ \frac{5\pi}{12} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{11\pi}{12} + 2\pi n $

Умножим все части на 2:

$ \frac{5\pi}{6} + 4\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 4\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ (\frac{5\pi}{6} + 4\pi n, \frac{11\pi}{6} + 4\pi n) $, $ n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ 2\sin(\frac{2\pi}{3} - x) < 1 $.

Разделим обе части на 2: $ \sin(\frac{2\pi}{3} - x) < \frac{1}{2} $.

Используем свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $: $ \sin(-(x - \frac{2\pi}{3})) < \frac{1}{2} $, что равносильно $ -\sin(x - \frac{2\pi}{3}) < \frac{1}{2} $. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \sin(x - \frac{2\pi}{3}) > -\frac{1}{2} $.

Пусть $ t = x - \frac{2\pi}{3} $. Получаем $ \sin(t) > -\frac{1}{2} $.

Решения этого неравенства: $ \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n < t < \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $, имеем:

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n $

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Вернемся к $x$:

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x - \frac{2\pi}{3} < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $

Прибавим $ \frac{2\pi}{3} $ ко всем частям:

$ -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

$ \frac{-\pi + 4\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi + 4\pi}{6} + 2\pi n $

$ \frac{3\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n $

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n) $, $ n \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \tg(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Пусть $ t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} $. Неравенство примет вид $ \tg(t) < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Решения этого неравенства: $ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6} $, получаем:

$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{6} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Подставим обратно $ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} $ вместо $t$:

$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{6} + \pi n $

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей:

$ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n $

$ -\frac{3\pi}{4} + \pi n < \frac{x}{3} < -\frac{\pi}{12} + \pi n $

Умножим все части на 3:

$ -\frac{9\pi}{4} + 3\pi n < x < -\frac{3\pi}{12} + 3\pi n $

$ -\frac{9\pi}{4} + 3\pi n < x < -\frac{\pi}{4} + 3\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ (-\frac{9\pi}{4} + 3\pi n, -\frac{\pi}{4} + 3\pi n) $, $ n \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \cos(x - \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2} $.

Пусть $ t = x - \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \cos(t) \ge \frac{1}{2} $.

Решения этого неравенства: $ -\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n \le t \le \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $, получаем:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Вернемся к $x$:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям:

$ -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ \frac{-2\pi + \pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi n $

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{6} + 2\pi n $

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ [-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n] $, $ n \in \mathbb{Z} $.

6) Решим неравенство $ \sin(4x + \frac{\pi}{5}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Пусть $ t = 4x + \frac{\pi}{5} $. Неравенство примет вид $ \sin(t) \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решения этого неравенства: $ \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n \le t \le 2\pi + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Или, в более удобной форме: $ -\pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k \le t \le \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k $.

Так как $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $, получаем:

$ \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi n \le t \le 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $. Для удобства вычислений можно записать как $ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.

Подставим обратно $ 4x + \frac{\pi}{5} $ вместо $t$:

$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 4x + \frac{\pi}{5} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

Вычтем $ \frac{\pi}{5} $ из всех частей:

$ -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi n \le 4x \le -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi n $

$ \frac{-10\pi - 3\pi}{15} + 2\pi n \le 4x \le \frac{-5\pi - 3\pi}{15} + 2\pi n $

$ -\frac{13\pi}{15} + 2\pi n \le 4x \le -\frac{8\pi}{15} + 2\pi n $

Разделим все части на 4:

$ -\frac{13\pi}{60} + \frac{2\pi n}{4} \le x \le -\frac{8\pi}{60} + \frac{2\pi n}{4} $

$ -\frac{13\pi}{60} + \frac{\pi n}{2} \le x \le -\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ [-\frac{13\pi}{60} + \frac{\pi n}{2}, -\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi n}{2}] $, $ n \in \mathbb{Z} $.