Номер 2, страница 234 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Поясните, по какой схеме проводится решение тригонометрических неравенств.

Решение тригонометрических неравенств проводится по следующей обобщенной схеме, которую мы рассмотрим на примере неравенства $2\sin(x) - 1 > 0$.

1. Приведение неравенства к простейшему виду. С помощью алгебраических преобразований и тригонометрических тождеств неравенство сводится к одному из простейших видов: $\sin(x) > a$, $\cos(x) \le a$, $\tan(x) < a$, $\cot(x) \ge a$ и т.п.
   Пример: $2\sin(x) - 1 > 0 \implies 2\sin(x) > 1 \implies \sin(x) > 1/2$.

2. Решение соответствующего уравнения. Чтобы найти граничные точки, которые разделяют числовую ось (или тригонометрическую окружность) на интервалы, нужно решить уравнение, получаемое заменой знака неравенства на знак равенства.
   Пример: Решаем уравнение $\sin(x) = 1/2$. Корни на промежутке $[0, 2\pi)$ равны $x_1 = \pi/6$ и $x_2 = 5\pi/6$.

3. Использование единичной тригонометрической окружности (или графика функции). Это ключевой этап, позволяющий наглядно определить интервалы, удовлетворяющие неравенству.

   • На единичной окружности отмечаются точки, соответствующие найденным корням уравнения (граничные точки). В нашем примере это точки, ордината (ось y) которых равна $1/2$.
   • Определяется дуга (или дуги) окружности, для точек которой выполняется исходное неравенство. Для $\sin(x) > 1/2$ нам нужны точки, ордината которых больше $1/2$. Это дуга, расположенная выше прямой $y=1/2$.
   • Концы этой дуги соответствуют углам $\pi/6$ и $5\pi/6$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки (в положительном направлении), мы видим, что нужная нам дуга начинается в точке $\pi/6$ и заканчивается в точке $5\pi/6$.

4. Запись решения на одном периоде. На основе анализа окружности записывается решение в виде интервала (или объединения интервалов) на протяжении одного периода функции. Для синуса и косинуса обычно берут промежуток длиной $2\pi$, например $[0, 2\pi)$.
   Пример: На промежутке $[0, 2\pi)$ решением является интервал $(\pi/6, 5\pi/6)$. Скобки круглые, так как неравенство строгое ($>$).

5. Учет периодичности и запись общего решения. Поскольку тригонометрические функции периодичны, найденное на одном периоде решение повторяется. Для получения общего решения к границам найденного интервала добавляется слагаемое $Pk$, где $P$ — основной период функции, а $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
   Пример: Период функции $\sin(x)$ равен $2\pi$. Следовательно, общее решение неравенства $\sin(x) > 1/2$ имеет вид:
   $\pi/6 + 2\pi k < x < 5\pi/6 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
   Или в виде интервалов: $x \in (\pi/6 + 2\pi k; 5\pi/6 + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Для более сложных неравенств (метод замены переменной)

Если неравенство содержит одну и ту же тригонометрическую функцию в разных степенях (например, $2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 \le 0$), используется метод замены переменной.

1. Вводится замена: пусть $t = \cos(x)$. Важно учесть область значений функции: $|t| \le 1$.
2. Решается полученное алгебраическое (в данном случае квадратное) неравенство: $2t^2 + t - 1 \le 0$. Корни уравнения $2t^2 + t - 1 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 1/2$. Решением неравенства является промежуток $t \in [-1, 1/2]$.
3. С учетом ограничения $|t| \le 1$ решение не меняется.
4. Выполняется обратная замена: $-1 \le \cos(x) \le 1/2$.
5. Это двойное неравенство решается с помощью единичной окружности. Неравенство $\cos(x) \ge -1$ выполняется для всех $x$. Остается решить $\cos(x) \le 1/2$. На окружности это дуга между точками $\pi/3$ и $5\pi/3$.
6. Записывается общее решение: $[\pi/3 + 2\pi k, 5\pi/3 + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Схема решения тригонометрических неравенств включает в себя: приведение неравенства к простейшему виду (при необходимости с помощью замены переменной), решение соответствующего ему уравнения для нахождения граничных точек, использование тригонометрической окружности или графика для определения нужных интервалов, и, наконец, учет периодичности функции для записи общего решения в виде серии интервалов.