Номер 4, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Решите уравнение $ \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16} $

Исходное уравнение: $ \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16} $.

Сначала проверим случай, когда $\sin x = 0$. Это происходит при $x = k\pi$ для любого целого $k$. В этом случае левая часть уравнения принимает вид:
$ \cos(k\pi) \cos(2k\pi) \cos(4k\pi) \cos(8k\pi) = (-1)^k \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = (-1)^k $.
Тогда уравнение становится $(-1)^k = \frac{1}{16}$, что не имеет решений. Следовательно, $\sin x \neq 0$.

Так как $\sin x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $16 \sin x$.

$$ 16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 16 \sin x \cdot \frac{1}{16} $$

$$ 16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x $$

Последовательно применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ к левой части, получаем:

$ 16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 8 \cdot (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 8 \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x $
$ = 4 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x \cos 8x = 4 \sin 4x \cos 4x \cos 8x $
$ = 2 \cdot (2 \sin 4x \cos 4x) \cos 8x = 2 \sin 8x \cos 8x = \sin 16x $.

Таким образом, уравнение преобразуется к виду:

$$ \sin 16x = \sin x $$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности синусов $ \sin A - \sin B = 2 \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $:

$$ \sin 16x - \sin x = 0 $$

$$ 2 \sin\left(\frac{16x-x}{2}\right) \cos\left(\frac{16x+x}{2}\right) = 0 $$

$$ \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cos\left(\frac{17x}{2}\right) = 0 $$

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $ \sin\left(\frac{15x}{2}\right) = 0 \implies \frac{15x}{2} = m\pi \implies x = \frac{2m\pi}{15} $, где $m \in \mathbb{Z}$.

2) $ \cos\left(\frac{17x}{2}\right) = 0 \implies \frac{17x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{17} $, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо исключить из этих решений те, для которых $\sin x = 0$ (то есть $x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$), так как они являются посторонними, привнесенными при умножении на $\sin x$.

Для первой серии корней $x = \frac{2m\pi}{15}$: условие $x=k\pi$ дает $\frac{2m\pi}{15} = k\pi$, или $2m = 15k$. Так как 2 и 15 взаимно просты, это равенство выполняется, когда $m$ кратно 15 ($m=15j$ для $j \in \mathbb{Z}$). Эти значения $m$ нужно исключить.

Для второй серии корней $x = \frac{(2n+1)\pi}{17}$: условие $x=k\pi$ дает $\frac{(2n+1)\pi}{17} = k\pi$, или $2n+1 = 17k$. Так как левая часть нечетна, правая тоже должна быть нечетной, что возможно только при нечетном $k$. Пусть $k=2j+1$ для $j \in \mathbb{Z}$. Тогда $2n+1=17(2j+1)=34j+17$, откуда $2n=34j+16$, то есть $n=17j+8$. Эти значения $n$ нужно исключить.

Ответ: $x = \frac{2m\pi}{15}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $m$ не кратно 15; $x = \frac{(2n+1)\pi}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 17j+8$ для любого $j \in \mathbb{Z}$.