Номер 3, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Решите уравнение:

1) $ \sin^3 4x + \cos^3 4x = 1 - 0.5 \sin 8x; $

2) $ \sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x = 2 \cos 5x; $

3) $ \cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}(\cos^4 2x - \sin^4 2x). $

1) $\sin^3 4x + \cos^3 4x = 1 - 0,5\sin 8x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\sin^3 4x + \cos^3 4x = (\sin 4x + \cos 4x)(\sin^2 4x - \sin 4x \cos 4x + \cos^2 4x)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$(\sin 4x + \cos 4x)(1 - \sin 4x \cos 4x)$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для нашего случая $\sin 8x = 2\sin 4x \cos 4x$.

Отсюда $\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2}\sin 8x = 0,5\sin 8x$.

Подставим это выражение в преобразованную левую часть и приравняем к правой части исходного уравнения:

$(\sin 4x + \cos 4x)(1 - 0,5\sin 8x) = 1 - 0,5\sin 8x$.

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(1 - 0,5\sin 8x)$ за скобки:

$(\sin 4x + \cos 4x)(1 - 0,5\sin 8x) - (1 - 0,5\sin 8x) = 0$;

$(1 - 0,5\sin 8x)(\sin 4x + \cos 4x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $1 - 0,5\sin 8x = 0$.

$0,5\sin 8x = 1$;

$\sin 8x = 2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синуса $[-1, 1]$.

Случай 2: $\sin 4x + \cos 4x - 1 = 0$.

$\sin 4x + \cos 4x = 1$.

Это уравнение вида $a\sin u + b\cos u = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x) = 1$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем записать:

$\sin 4x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 4x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Отсюда получаем две серии решений:

а) $4x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$4x = 2\pi k$

$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $4x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$4x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x = 2\cos 5x$

Преобразуем левую часть уравнения методом введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$:

$2(\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 3x) = 2\cos 5x$.

Так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2(\sin 3x \cos\frac{\pi}{3} + \cos 3x \sin\frac{\pi}{3}) = 2\cos 5x$.

Применяем формулу синуса суммы:

$2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = 2\cos 5x$.

$\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \cos 5x$.

Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x)$.

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi n$.

Случай 1:

$3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$8x = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$3x + \frac{\pi}{3} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

$3x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi n$

$3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi n$

$-2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} - \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}, x = -\frac{\pi}{12} - \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}(\cos^4 2x - \sin^4 2x)$

Рассмотрим выражение в скобках в правой части. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\cos^4 2x - \sin^4 2x = (\cos^2 2x - \sin^2 2x)(\cos^2 2x + \sin^2 2x)$.

Используем тождества $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$(\cos(2 \cdot 2x))(1) = \cos 4x$.

Уравнение принимает вид:

$\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}\cos 4x$.

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла, вынеся за скобки $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x) = \sqrt{2}\cos 4x$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x = \cos 4x$.

Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\cos\frac{\pi}{4}$ и $\sin\frac{\pi}{4}$:

$\cos 2x \cos\frac{\pi}{4} + \sin 2x \sin\frac{\pi}{4} = \cos 4x$.

Применяя формулу косинуса разности $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$, получаем:

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \cos 4x$.

Равенство косинусов $\cos A = \cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi k$.

Случай 1:

$2x - \frac{\pi}{4} = 4x + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$-2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

(Эту серию можно записать как $x = -\frac{\pi}{8} + \pi m$, где $m=-k \in \mathbb{Z}$)

Случай 2:

$2x - \frac{\pi}{4} = -4x + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

$6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} - \pi k, x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.