Номер 31.8, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.8. Решите уравнение:

1) $cos^2 6x + cos^2 5x = 1;$

2) $cos^2 x - sin^2 2x + cos^2 3x = \frac{1}{2};$

3) $cos 2x - cos 4x = sin 6x;$

4) $sin 2x + cos 2x = \sqrt{2} sin x,$

5) $cos^2 x + cos^2 2x = cos^2 3x + cos^2 4x;$

6) $sin 6x = 2cos \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right).$

1) $\cos^2 6x + \cos^2 5x = 1$

Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(12x)}{2} + \frac{1 + \cos(10x)}{2} = 1$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 + \cos(12x) + 1 + \cos(10x) = 2$

$\cos(12x) + \cos(10x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{12x+10x}{2}\cos\frac{12x-10x}{2} = 0$

$2\cos(11x)\cos(x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos(11x) = 0 \implies 11x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{22} + \frac{\pi n}{11}$

2) $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{22} + \frac{\pi n}{11}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^2 x - \sin^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2}$

Используем формулы понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} - \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$(1 + \cos(2x)) - (1 - \cos(4x)) + (1 + \cos(6x)) = 1$

$1 + \cos(2x) - 1 + \cos(4x) + 1 + \cos(6x) = 1$

$\cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов:

$(\cos(6x) + \cos(2x)) + \cos(4x) = 0$

$2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \cos(4x) = 0$

$2\cos(4x)\cos(2x) + \cos(4x) = 0$

Вынесем $\cos(4x)$ за скобки:

$\cos(4x)(2\cos(2x) + 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $\cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$

2) $2\cos(2x) + 1 = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x - \cos 4x = \sin 6x$

Применим к левой части формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$-2\sin\frac{2x+4x}{2}\sin\frac{2x-4x}{2} = \sin 6x$

$-2\sin(3x)\sin(-x) = \sin 6x$

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$2\sin(3x)\sin(x) = \sin 6x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для правой части:

$2\sin(3x)\sin(x) = 2\sin(3x)\cos(3x)$

$2\sin(3x)\sin(x) - 2\sin(3x)\cos(3x) = 0$

$2\sin(3x)(\sin(x) - \cos(3x)) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $\sin(3x) = 0 \implies 3x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{3}$

2) $\sin(x) - \cos(3x) = 0 \implies \sin(x) = \cos(3x)$

Используем формулу приведения $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2}-x)$:

$\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(3x)$

Из равенства косинусов следует $\frac{\pi}{2}-x = \pm 3x + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

a) $\frac{\pi}{2}-x = 3x + 2\pi k \implies 4x = \frac{\pi}{2} - 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$

б) $\frac{\pi}{2}-x = -3x + 2\pi k \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}$, $x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin x$

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. $a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)$.

Здесь $a=1, b=1$, поэтому $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. $\phi = \frac{\pi}{4}$.

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x) = \sqrt{2} \sin x$

$\sqrt{2}(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin x$

$\sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin x$

$\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sin x$

Из равенства синусов следуют два случая:

1) $2x + \frac{\pi}{4} = x + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

2) $2x + \frac{\pi}{4} = \pi - x + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x + \cos^2 4x$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{1+\cos 6x}{2} + \frac{1+\cos 8x}{2}$

Умножим на 2 и упростим:

$1+\cos 2x + 1+\cos 4x = 1+\cos 6x + 1+\cos 8x$

$\cos 2x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$(\cos 2x - \cos 8x) + (\cos 4x - \cos 6x) = 0$

Применим формулу разности косинусов:

$-2\sin\frac{2x+8x}{2}\sin\frac{2x-8x}{2} - 2\sin\frac{4x+6x}{2}\sin\frac{4x-6x}{2} = 0$

$-2\sin(5x)\sin(-3x) - 2\sin(5x)\sin(-x) = 0$

$2\sin(5x)\sin(3x) + 2\sin(5x)\sin(x) = 0$

$2\sin(5x)(\sin(3x) + \sin(x)) = 0$

К выражению в скобках применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\sin(5x)(2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0$

$4\sin(5x)\sin(2x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

3) $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z}$. Эта серия решений является подмножеством второй серии (при нечетных $k$).

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}$, $x = \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 6x = 2\cos(\frac{3\pi}{2} + 2x)$

Используем формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 6x = 2\sin(2x)$

Применим формулу синуса тройного угла $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ для левой части, где $\alpha = 2x$:

$\sin(3 \cdot 2x) = 2\sin(2x)$

$3\sin(2x) - 4\sin^3(2x) = 2\sin(2x)$

$\sin(2x) - 4\sin^3(2x) = 0$

Вынесем $\sin(2x)$ за скобки:

$\sin(2x)(1 - 4\sin^2(2x)) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{2}$

2) $1 - 4\sin^2(2x) = 0 \implies \sin^2(2x) = \frac{1}{4} \implies \sin(2x) = \pm \frac{1}{2}$

Это равносильно совокупности $2x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.