Номер 1, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Решите уравнение:

1) $\sin x + \cos x = 1 + \sin x \cos x;$ 2) $2\sin 2x = 3(\sin x + \cos x).$

1) $\sin x + \cos x = 1 + \sin x \cos x$

Это симметрическое тригонометрическое уравнение. Для его решения введем замену: пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части замены в квадрат:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$t^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

Отсюда выразим произведение $\sin x \cos x$:

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

Теперь подставим выражения для $t$ и $\sin x \cos x$ в исходное уравнение:

$t = 1 + \frac{t^2 - 1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $t$. Умножим обе части на 2:

$2t = 2 + t^2 - 1$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(t - 1)^2 = 0$

Отсюда $t = 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\sin x + \cos x = 1$

Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно переписать в виде:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ - четное, $n = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k$

2. Если $n$ - нечетное, $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Таким образом, получаем две серии решений.

Ответ: $x = 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin 2x = 3(\sin x + \cos x)$

Как и в предыдущем уравнении, используем замену $t = \sin x + \cos x$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Из предыдущего решения мы знаем, что $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$, следовательно:

$\sin 2x = 2 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} = t^2 - 1$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2(t^2 - 1) = 3t$

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$t_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь нужно проверить, могут ли полученные значения $t$ быть равными выражению $\sin x + \cos x$.

Область значений функции $y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то:

1. Значение $t_2 = 2$ не входит в область значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, так как $2 > \sqrt{2}$. Следовательно, уравнение $\sin x + \cos x = 2$ не имеет решений.

2. Значение $t_1 = -\frac{1}{2}$ входит в область значений, так как $-\sqrt{2} \le -\frac{1}{2} \le \sqrt{2}$.

Таким образом, нам нужно решить уравнение:

$\sin x + \cos x = -\frac{1}{2}$

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

Общее решение этого уравнения:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = -(-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{4} - (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$

Это выражение можно записать как $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.