Номер 31.7, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.7. Решите уравнение:

1) $\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{3x}{2} = 1;$

2) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1,5;$

3) $\cos 2x - \cos 8x + \cos 6x = 1;$

4) $1 - \cos x = \operatorname{tg} x - \sin x;$

5) $\sin x + \sin 3x = 4\cos^2 x;$

6) $\cos 2x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x);$

7) $\sin^2 x + \sin^2 2x - \sin^2 3x - \sin^2 4x = 0;$

8) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2;$

9) $\cos 9x = 2\sin \left(\frac{3\pi}{2} - 3x\right).$

1) $\sin^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{3x}{2} = 1$

Применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos x}{2} + \frac{1 - \cos(3x)}{2} = 1$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos x + 1 - \cos(3x) = 2$

$2 - (\cos x + \cos(3x)) = 2$

$\cos x + \cos(3x) = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 0$

$2\cos(2x)\cos x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1,5$

Применим формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x + 1 + \cos 6x = 3$

$3 + (\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x) = 3$

$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0$

Сгруппируем и применим формулу суммы косинусов:

$(\cos 6x + \cos 2x) + \cos 4x = 0$

$2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \cos 4x = 0$

$2\cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0$

$\cos 4x (2\cos 2x + 1) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x - \cos 8x + \cos 6x = 1$

Перегруппируем слагаемые:

$(\cos 2x + \cos 6x) - \cos 8x = 1$

Применим формулу суммы косинусов:

$2\cos\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} - \cos 8x = 1$

$2\cos 4x \cos 2x - \cos 8x = 1$

Применим формулу двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ для $\cos 8x$:

$2\cos 4x \cos 2x - (2\cos^2 4x - 1) = 1$

$2\cos 4x \cos 2x - 2\cos^2 4x + 1 = 1$

$2\cos 4x (\cos 2x - \cos 4x) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = \cos 4x$. Это равенство выполняется, если $4x = \pm 2x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

a) $4x = 2x + 2\pi n \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

b) $4x = -2x + 2\pi n \implies 6x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Серия решений $x = \pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi n}{3}$ (при $n$ кратном 3).

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $1 - \cos x = \operatorname{tg} x - \sin x$

Область допустимых значений: $\cos x \neq 0$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$1 - \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x$

$1 - \cos x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right)$

$1 - \cos x = \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x}$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$:

$(1 - \cos x) - \frac{\sin x(1 - \cos x)}{\cos x} = 0$

$(1 - \cos x)\left(1 - \frac{\sin x}{\cos x}\right) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти решения входят в ОДЗ.

2) $1 - \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \implies \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin x + \sin 3x = 4\cos^2 x$

Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 4\cos^2 x$

$2\sin 2x \cos x = 4\cos^2 x$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2(2\sin x \cos x)\cos x = 4\cos^2 x$

$4\sin x \cos^2 x = 4\cos^2 x$

$4\sin x \cos^2 x - 4\cos^2 x = 0$

$4\cos^2 x (\sin x - 1) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Вторая серия решений является подмножеством первой (когда $k$ - четное число). Проверим, являются ли решения из первой серии, не входящие во вторую (когда $k$ - нечетное, т.е. $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$), решениями исходного уравнения. При $x = \frac{3\pi}{2}$: $\sin\frac{3\pi}{2} + \sin(3 \cdot \frac{3\pi}{2}) = -1 + \sin\frac{9\pi}{2} = -1 + 1 = 0$. Правая часть: $4\cos^2\frac{3\pi}{2} = 4 \cdot 0^2 = 0$. Равенство $0=0$ верно. Следовательно, все решения первой серии подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) $\cos 2x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$

Используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$:

$\cos^2 x - \sin^2 x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$

Разложим левую часть как разность квадратов:

$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$

$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - \sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 0$

$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x + \sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \sin x + \cos x = \sqrt{2}$.

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2} \implies \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$.

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений является подмножеством первой (когда $k$ - четное). Таким образом, общее решение - это первая серия.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7) $\sin^2 x + \sin^2 2x - \sin^2 3x - \sin^2 4x = 0$

Перегруппируем слагаемые:

$(\sin^2 x - \sin^2 3x) + (\sin^2 2x - \sin^2 4x) = 0$

Применим формулу $\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)$:

$\sin(x-3x)\sin(x+3x) + \sin(2x-4x)\sin(2x+4x) = 0$

$\sin(-2x)\sin(4x) + \sin(-2x)\sin(6x) = 0$

$-\sin(2x)\sin(4x) - \sin(2x)\sin(6x) = 0$

$-\sin(2x)(\sin(4x) + \sin(6x)) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(4x) + \sin(6x) = 0$. Применим формулу суммы синусов:

$2\sin\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 \implies 2\sin(5x)\cos x = 0$.

Это распадается еще на два уравнения:

a) $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

b) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$).

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

8) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2$

Применим формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} = 2$

$1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x + 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x = 4$

$4 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 4$

$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0$

Сгруппируем: $(\cos 2x + \cos 8x) + (\cos 4x + \cos 6x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов:

$2\cos\frac{2x+8x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} + 2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0$

$2\cos 5x \cos 3x + 2\cos 5x \cos x = 0$

$2\cos 5x (\cos 3x + \cos x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов еще раз:

$2\cos 5x (2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0$

$4\cos 5x \cos 2x \cos x = 0$

Уравнение распадается на три:

1) $\cos 5x = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

3) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

9) $\cos 9x = 2\sin\left(\frac{3\pi}{2} - 3x\right)$

Используем формулу приведения $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$:

$\cos 9x = 2(-\cos 3x)$

$\cos 9x + 2\cos 3x = 0$

Применим формулу тройного угла $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$ для $\cos 9x = \cos(3 \cdot 3x)$:

$(4\cos^3(3x) - 3\cos(3x)) + 2\cos(3x) = 0$

$4\cos^3(3x) - \cos(3x) = 0$

$\cos(3x)(4\cos^2(3x) - 1) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

2) $4\cos^2(3x) - 1 = 0 \implies \cos^2(3x) = \frac{1}{4} \implies \cos(3x) = \pm\frac{1}{2}$

a) $\cos(3x) = \frac{1}{2} \implies 3x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

b) $\cos(3x) = -\frac{1}{2} \implies 3x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \implies x = \pm\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$

Решения из пункта 2) можно объединить. Заметим, что $\cos^2(A) = 1/4$ эквивалентно $2\cos(2A)+1=0$, т.е. $\cos(2A) = -1/2$. В нашем случае $\cos(6x) = -1/2$, откуда $6x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi j$, что дает $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi j}{3}, j \in \mathbb{Z}$. Эта серия включает в себя обе серии решений из 2a) и 2b).

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi j}{3}, j \in \mathbb{Z}$.