Номер 31.10, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.10. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как $5 : 2$ и $3 : 4$. Сколько надо взять килограммов первого сплава и сколько второго, чтобы, сплавив их, получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

Пусть масса первого сплава, которую необходимо взять, составляет $x$ кг, а масса второго сплава — $y$ кг. Согласно условию, общая масса нового сплава равна 28 кг, из чего следует первое уравнение:
$x + y = 28$

Определим содержание меди и цинка в каждом из сплавов.
В первом сплаве соотношение масс меди и цинка равно 5:2. Это значит, что сплав состоит из $5+2=7$ частей. Доля меди в этом сплаве составляет $\frac{5}{7}$, а доля цинка — $\frac{2}{7}$. Следовательно, в $x$ кг первого сплава содержится $\frac{5}{7}x$ кг меди и $\frac{2}{7}x$ кг цинка.
Во втором сплаве соотношение масс меди и цинка равно 3:4. Этот сплав состоит из $3+4=7$ частей. Доля меди в нем составляет $\frac{3}{7}$, а доля цинка — $\frac{4}{7}$. Следовательно, в $y$ кг второго сплава содержится $\frac{3}{7}y$ кг меди и $\frac{4}{7}y$ кг цинка.

В конечном сплаве массой 28 кг должно быть равное содержание меди и цинка. Это означает, что масса каждого металла должна составлять половину от общей массы:
Масса меди = $28 \div 2 = 14$ кг.
Масса цинка = $28 \div 2 = 14$ кг.

Суммарная масса меди из двух исходных сплавов должна быть равна 14 кг. Это позволяет нам составить второе уравнение:
$\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 28 \\ \frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14 \end{cases} $
Умножим обе части второго уравнения на 7, чтобы избавиться от дробей:
$5x + 3y = 98$
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 28 - x$
Подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:
$5x + 3(28 - x) = 98$
$5x + 84 - 3x = 98$
$2x = 98 - 84$
$2x = 14$
$x = 7$

Мы нашли массу первого сплава, она равна 7 кг. Теперь найдем массу второго сплава:
$y = 28 - 7 = 21$
Таким образом, для получения требуемого сплава необходимо взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго.

Ответ: необходимо взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго.