Номер 5, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0;$

2) $\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0.$

1) $\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} \sin^2 x + \sin x = 0, \\ 1 + \cos x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\sin^2 x + \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим условие из знаменателя (область допустимых значений, ОДЗ):

$1 + \cos x \neq 0$

$\cos x \neq -1$

$x \neq \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Проверим найденные серии корней на соответствие ОДЗ.

Для серии корней $x = \pi k$:

• Если $k$ — четное число ($k = 2m$), то $x = 2\pi m$. В этом случае $\cos x = \cos(2\pi m) = 1$. Условие $\cos x \neq -1$ выполняется. Значит, корни вида $x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ являются решениями.
• Если $k$ — нечетное число ($k = 2m + 1$), то $x = \pi(2m + 1) = \pi + 2\pi m$. В этом случае $\cos x = \cos(\pi + 2\pi m) = -1$. Условие $\cos x \neq -1$ не выполняется. Эти корни необходимо исключить.

Для серии корней $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$:

• В этом случае $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$. Условие $\cos x \neq -1$ выполняется. Значит, все корни этой серии являются решениями.

Объединяя все подходящие корни, получаем окончательный ответ.

Ответ: $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 8 \sin x \cos x \sin 2x - 1 = 0, \\ \sqrt{3} + 2 \sin 4x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$8 \sin x \cos x \sin 2x - 1 = 0$

$4 \cdot (2 \sin x \cos x) \cdot \sin 2x - 1 = 0$

$4 \sin 2x \cdot \sin 2x - 1 = 0$

$4 \sin^2 2x - 1 = 0$

$\sin^2 2x = \frac{1}{4}$

Для дальнейшего решения удобно использовать формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 - \cos 4x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\cos 4x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, получаем:

$4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим ОДЗ из знаменателя:

$\sqrt{3} + 2 \sin 4x \neq 0$

$2 \sin 4x \neq -\sqrt{3}$

$\sin 4x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Проверим, какие из найденных решений удовлетворяют этому условию. Мы знаем, что для наших решений $\cos 4x = \frac{1}{2}$. Найдем соответствующее значение $\sin 4x$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\sin^2 4x + (\frac{1}{2})^2 = 1 \implies \sin^2 4x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies \sin 4x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам нужно исключить те корни, для которых $\sin 4x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим две серии решений $4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• Если $4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, то $\sin 4x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.
• Если $4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, то $\sin 4x = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ, поэтому данную серию корней необходимо исключить.

Таким образом, решением является только одна серия:

$4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 4, получим:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.