Номер 32.9, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.9. Решите неравенство:

1) $\frac{(x-1)(x+3)^3}{(x+2)^2} \le 0;$

2) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 8} \ge 0;$

3) $\frac{(x+1)(x-3)^2}{x+4} \le 0.$

1) Решим неравенство $ \frac{(x-1)(x+3)^3}{(x+2)^2} \le 0 $ методом интервалов.
1. Находим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю: $ (x+2)^2 \ne 0 $, откуда $ x \ne -2 $.
2. Находим нули функции, то есть точки, где числитель равен нулю: $ (x-1)(x+3)^3 = 0 $. Получаем корни $ x=1 $ и $ x=-3 $. Так как неравенство нестрогое ($ \le $), эти точки включаем в решение.
3. Отмечаем на числовой оси точки $ -3, -2, 1 $. Точки $ -3 $ и $ 1 $ будут закрашенными (включены в решение), а точка $ -2 $ — выколотой (не входит в ОДЗ).
4. Определяем знаки на полученных интервалах. Корень $ x=-2 $ (из знаменателя) имеет четную степень (2), поэтому при переходе через эту точку знак выражения не меняется. Корни $ x=-3 $ и $ x=1 $ имеют нечетные степени (3 и 1), поэтому при переходе через них знак меняется.
Проверим знак на крайнем правом интервале $ (1; +\infty) $, подставив, например, $ x=2 $: $ \frac{(2-1)(2+3)^3}{(2+2)^2} = \frac{1 \cdot 5^3}{4^2} > 0 $. Значит, на этом интервале знак «+».
Двигаясь справа налево по числовой оси, расставляем знаки: $ + $ на $ (-\infty; -3) $, $ - $ на $ (-3; -2) $, $ - $ на $ (-2; 1) $, $ + $ на $ (1; +\infty) $.
5. Выбираем промежутки, где выражение меньше или равно нулю (знак «−» или равно 0). Это объединение интервалов $ (-3; -2) $ и $ (-2; 1) $, а также точек $ x=-3 $ и $ x=1 $.
Объединив, получаем итоговый промежуток.
Ответ: $ [-3; -2) \cup (-2; 1] $.

2) Решим неравенство $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 8} \ge 0 $.
1. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем их корни.
Числитель: $ x^2 - 5x + 4 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1=1, x_2=4 $. Следовательно, $ x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) $.
Знаменатель: $ x^2 - 6x + 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1=2, x_2=4 $. Следовательно, $ x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4) $.
2. Перепишем неравенство в новом виде: $ \frac{(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-4)} \ge 0 $.
3. Находим ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $ x-2 \ne 0 $ и $ x-4 \ne 0 $. Отсюда $ x \ne 2 $ и $ x \ne 4 $.
4. Сократим дробь на общий множитель $ (x-4) $, при этом сохранив условие $ x \ne 4 $. Неравенство становится эквивалентно системе:
$ \begin{cases} \frac{x-1}{x-2} \ge 0 \\ x \ne 4 \end{cases} $
5. Решим простое неравенство $ \frac{x-1}{x-2} \ge 0 $ методом интервалов. Нуль числителя: $ x=1 $ (включаем в решение). Нуль знаменателя: $ x=2 $ (исключаем).
На числовой оси отмечаем точки 1 (закрашенная) и 2 (выколотая).
Определяем знаки на интервалах: $ + $ на $ (-\infty; 1) $, $ - $ на $ (1; 2) $, $ + $ на $ (2; +\infty) $.
Решением неравенства $ \frac{x-1}{x-2} \ge 0 $ является объединение промежутков $ (-\infty; 1] \cup (2; +\infty) $.
6. Теперь учтем ограничение $ x \ne 4 $. Точка $ x=4 $ попадает в промежуток $ (2; +\infty) $, поэтому мы должны ее исключить, разбив этот промежуток на два: $ (2; 4) \cup (4; +\infty) $.
Ответ: $ (-\infty; 1] \cup (2; 4) \cup (4; +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \frac{(x+1)(x-3)^2}{x+4} \le 0 $.
1. Находим ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $ x+4 \ne 0 \implies x \ne -4 $.
2. Находим нули числителя: $ (x+1)(x-3)^2 = 0 $, откуда получаем корни $ x=-1 $ и $ x=3 $. Так как неравенство нестрогое ($ \le $), эти точки включаем в решение.
3. Отмечаем на числовой оси все критические точки: $ -4, -1, 3 $. Точка $ -4 $ выколотая, точки $ -1 $ и $ 3 $ закрашенные.
4. Определяем знаки на интервалах. Корень $ x=3 $ имеет четную степень (2), поэтому при переходе через него знак не меняется. Корни $ x=-1 $ и $ x=-4 $ имеют нечетную степень (1), поэтому знак меняется.
Проверим знак на крайнем правом интервале $ (3; +\infty) $, взяв $ x=4 $: $ \frac{(4+1)(4-3)^2}{4+4} = \frac{5 \cdot 1^2}{8} > 0 $. Знак «+».
Двигаясь справа налево, получаем знаки: $ + $ на $ (3; +\infty) $, $ + $ на $ (-1; 3) $, $ - $ на $ (-4; -1) $, $ + $ на $ (-\infty; -4) $.
5. Выбираем промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком «−», а также точки, где выражение равно нулю.
Интервал со знаком «−»: $ (-4; -1) $. Нули функции: $ x=-1 $ и $ x=3 $.
Объединяя интервал с его правой границей $ x=-1 $ и добавляя изолированную точку $ x=3 $, получаем решение.
Ответ: $ (-4; -1] \cup \{3\} $.