Страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.23. Сравните:

1) $\sqrt[5]{7}$ и $\sqrt[10]{47}$;

2) $\sqrt{2}$ и $\sqrt[5]{33}$;

3) $\sqrt[3]{15}$ и $\sqrt{5}$;

4) $\sqrt[5]{25}$ и $\sqrt[3]{5}$.

1)

Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{7}$ и $\sqrt[10]{47}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 5 и 10 равно 10.

Представим корень пятой степени как корень десятой степени:
$\sqrt[5]{7} = \sqrt[5 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[10]{49}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[10]{49}$ и $\sqrt[10]{47}$.
Поскольку показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения. Так как $49 > 47$, то и $\sqrt[10]{49} > \sqrt[10]{47}$.

Следовательно, $\sqrt[5]{7} > \sqrt[10]{47}$.
Ответ: $\sqrt[5]{7} > \sqrt[10]{47}$.

2)

Чтобы сравнить $\sqrt{2}$ и $\sqrt[5]{\sqrt{33}}$, сначала упростим второе выражение, используя свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
$\sqrt[5]{\sqrt{33}} = \sqrt[5 \cdot 2]{33} = \sqrt[10]{33}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{2}$ (т.е. $\sqrt[2]{2}$) и $\sqrt[10]{33}$. Приведем их к общему показателю 10.

$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[10]{32}$.

Сравниваем $\sqrt[10]{32}$ и $\sqrt[10]{33}$. Так как $32 < 33$, то $\sqrt[10]{32} < \sqrt[10]{33}$.

Следовательно, $\sqrt{2} < \sqrt[5]{\sqrt{33}}$.
Ответ: $\sqrt{2} < \sqrt[5]{\sqrt{33}}$.

3)

Сравним числа $\sqrt[3]{15}$ и $\sqrt{5}$ (т.е. $\sqrt[2]{5}$). Для этого приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 2 это 6.

$\sqrt[3]{15} = \sqrt[3 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[6]{225}$.
$\sqrt{5} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[6]{125}$.

Теперь сравним $\sqrt[6]{225}$ и $\sqrt[6]{125}$. Так как $225 > 125$, то $\sqrt[6]{225} > \sqrt[6]{125}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{15} > \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{15} > \sqrt{5}$.

4)

Сравним числа $\sqrt[5]{25}$ и $\sqrt[3]{5}$. Заметим, что $25 = 5^2$. Тогда первое число можно записать как $\sqrt[5]{5^2}$.

Приведем корни $\sqrt[5]{5^2}$ и $\sqrt[3]{5}$ к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 это 15.

$\sqrt[5]{25} = \sqrt[5]{5^2} = \sqrt[5 \cdot 3]{(5^2)^3} = \sqrt[15]{5^{2 \cdot 3}} = \sqrt[15]{5^6}$.
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 5]{5^5} = \sqrt[15]{5^5}$.

Сравним $\sqrt[15]{5^6}$ и $\sqrt[15]{5^5}$. Поскольку основание степени $5 > 1$ и показатель $6 > 5$, то $5^6 > 5^5$.
Следовательно, $\sqrt[15]{5^6} > \sqrt[15]{5^5}$.

Значит, $\sqrt[5]{25} > \sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt[5]{25} > \sqrt[3]{5}$.

30.24. Решите уравнение:

1) $6x^3 - 24x = 0;$

2) $x^3 - 5x^2 + 9x - 45 = 0;$

3) $x^5 + 2x^4 + 8x + 16 = 0;$

4) $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0.$

1) $6x^3 - 24x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $6x$ за скобки:

$6x(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1. $6x = 0 \implies x_1 = 0$

2. $x^2 - 4 = 0$. Это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Отсюда получаем еще два корня:

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

2) $x^3 - 5x^2 + 9x - 45 = 0$

Для решения применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(x^3 - 5x^2) + (9x - 45) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 5) + 9(x - 5) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)(x^2 + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 5 = 0 \implies x = 5$

2. $x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = -9$. Данное уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $5$.

3) $x^5 + 2x^4 + 8x + 16 = 0$

Воспользуемся методом группировки слагаемых:

$(x^5 + 2x^4) + (8x + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x + 2) + 8(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^4 + 8) = 0$

Рассмотрим два возможных случая:

1. $x + 2 = 0 \implies x = -2$

2. $x^4 + 8 = 0 \implies x^4 = -8$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень (в данном случае 4-я) любого действительного числа является неотрицательной величиной.

Таким образом, у уравнения есть единственный действительный корень.

Ответ: $-2$.

4) $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения на множители:

$(x^3 - 1) + (-2x^2 + 2x) = 0$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к первому выражению в скобках. Во втором выражении вынесем общий множитель $-2x$:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2x(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)((x^2 + x + 1) - 2x) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1)(x^2 - x + 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$

2. $x^2 - x + 1 = 0$. Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $1$.