Номер 30.23, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.23. Сравните:

1) $\sqrt[5]{7}$ и $\sqrt[10]{47}$;

2) $\sqrt{2}$ и $\sqrt[5]{33}$;

3) $\sqrt[3]{15}$ и $\sqrt{5}$;

4) $\sqrt[5]{25}$ и $\sqrt[3]{5}$.

1)

Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{7}$ и $\sqrt[10]{47}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 5 и 10 равно 10.

Представим корень пятой степени как корень десятой степени:
$\sqrt[5]{7} = \sqrt[5 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[10]{49}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[10]{49}$ и $\sqrt[10]{47}$.
Поскольку показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения. Так как $49 > 47$, то и $\sqrt[10]{49} > \sqrt[10]{47}$.

Следовательно, $\sqrt[5]{7} > \sqrt[10]{47}$.
Ответ: $\sqrt[5]{7} > \sqrt[10]{47}$.

2)

Чтобы сравнить $\sqrt{2}$ и $\sqrt[5]{\sqrt{33}}$, сначала упростим второе выражение, используя свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
$\sqrt[5]{\sqrt{33}} = \sqrt[5 \cdot 2]{33} = \sqrt[10]{33}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{2}$ (т.е. $\sqrt[2]{2}$) и $\sqrt[10]{33}$. Приведем их к общему показателю 10.

$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[10]{32}$.

Сравниваем $\sqrt[10]{32}$ и $\sqrt[10]{33}$. Так как $32 < 33$, то $\sqrt[10]{32} < \sqrt[10]{33}$.

Следовательно, $\sqrt{2} < \sqrt[5]{\sqrt{33}}$.
Ответ: $\sqrt{2} < \sqrt[5]{\sqrt{33}}$.

3)

Сравним числа $\sqrt[3]{15}$ и $\sqrt{5}$ (т.е. $\sqrt[2]{5}$). Для этого приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 2 это 6.

$\sqrt[3]{15} = \sqrt[3 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[6]{225}$.
$\sqrt{5} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[6]{125}$.

Теперь сравним $\sqrt[6]{225}$ и $\sqrt[6]{125}$. Так как $225 > 125$, то $\sqrt[6]{225} > \sqrt[6]{125}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{15} > \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{15} > \sqrt{5}$.

4)

Сравним числа $\sqrt[5]{25}$ и $\sqrt[3]{5}$. Заметим, что $25 = 5^2$. Тогда первое число можно записать как $\sqrt[5]{5^2}$.

Приведем корни $\sqrt[5]{5^2}$ и $\sqrt[3]{5}$ к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 это 15.

$\sqrt[5]{25} = \sqrt[5]{5^2} = \sqrt[5 \cdot 3]{(5^2)^3} = \sqrt[15]{5^{2 \cdot 3}} = \sqrt[15]{5^6}$.
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 5]{5^5} = \sqrt[15]{5^5}$.

Сравним $\sqrt[15]{5^6}$ и $\sqrt[15]{5^5}$. Поскольку основание степени $5 > 1$ и показатель $6 > 5$, то $5^6 > 5^5$.
Следовательно, $\sqrt[15]{5^6} > \sqrt[15]{5^5}$.

Значит, $\sqrt[5]{25} > \sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt[5]{25} > \sqrt[3]{5}$.