Номер 30.17, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.17. Сколько корней уравнения $cos 2x + sin x = cos^2 x$ принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$?

Для решения данного тригонометрического уравнения $ \cos(2x) + \sin x = \cos^2 x $ необходимо привести его к уравнению относительно одной тригонометрической функции. Удобнее всего выразить все члены уравнения через $ \sin x $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $ и основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(1 - 2\sin^2 x) + \sin x = 1 - \sin^2 x$

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и упростим его:

$1 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 + \sin^2 x = 0$

$-\sin^2 x + \sin x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от знака "минус" при старшем члене:

$\sin^2 x - \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$\sin x (\sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два простых уравнения:

1) $ \sin x = 0 $

2) $ \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 $

Найдем общие решения для каждого из этих уравнений.

Для $ \sin x = 0 $ решениями является серия корней $ x = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Для $ \sin x = 1 $ решениями является серия корней $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

Далее необходимо отобрать те корни, которые принадлежат заданному промежутку $ [-\pi; \pi] $.

Для серии корней $ x = \pi k $:

Решим неравенство $ -\pi \le \pi k \le \pi $. Разделив все его части на $ \pi $, получим $ -1 \le k \le 1 $. Поскольку $ k $ — целое число, его возможные значения: -1, 0, 1. Найдем соответствующие значения $ x $:

• При $ k = -1 \implies x = -\pi $
• При $ k = 0 \implies x = 0 $
• При $ k = 1 \implies x = \pi $

Все три корня ($-\pi, 0, \pi$) входят в заданный промежуток.

Для серии корней $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $:

Решим неравенство $ -\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \pi $. Вычтем $ \frac{\pi}{2} $ из всех частей:

$-\pi - \frac{\pi}{2} \le 2\pi n \le \pi - \frac{\pi}{2}$

$-\frac{3\pi}{2} \le 2\pi n \le \frac{\pi}{2}$

Разделим все части на $ 2\pi $:

$-\frac{3}{4} \le n \le \frac{1}{4}$

Единственное целое число $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, — это $ n = 0 $. Найдем соответствующее значение $ x $:

• При $ n = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $

Этот корень ($ \frac{\pi}{2} $) также входит в заданный промежуток.

Таким образом, на промежутке $ [-\pi; \pi] $ уравнение имеет следующие корни: $ -\pi, 0, \pi, \frac{\pi}{2} $. Всего их 4.

Ответ: 4