gdz.top
Номер 30.9, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 30. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Упражнения - номер 30.9, страница 221.
№30.8
№30.9 (с. 221)
Условие. №30.9 (с. 221)
30.9. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $ \sin^2 x + \cos x + 1 = 0 $.
Решение 1. №30.9 (с. 221)
Решение 2. №30.9 (с. 221)
Решение 3. №30.9 (с. 221)
Решение 4. №30.9 (с. 221)
Решение 5. №30.9 (с. 221)
Для решения уравнения $\sin^2 x + \cos x + 1 = 0$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-\cos^2 x + \cos x + 2 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:
$\cos^2 x - \cos x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1; 1]$, имеем ограничение $-1 \le t \le 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - t - 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1. Первый корень $t_1 = 2$. Получаем уравнение $\cos x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1.
2. Второй корень $t_2 = -1$. Получаем уравнение $\cos x = -1$. Это частный случай тригонометрического уравнения, решения которого имеют вид:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
Нам необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого будем перебирать целочисленные значения $n$.
Если $n = 0$, то $x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$. Это положительный корень.
Если $n = -1$, то $x = \pi + 2\pi \cdot (-1) = \pi - 2\pi = -\pi$. Это отрицательный корень.
Если $n = -2$, то $x = \pi + 2\pi \cdot (-2) = \pi - 4\pi = -3\pi$. Этот корень также отрицательный, но $-\pi > -3\pi$.
При уменьшении $n$ значения $x$ также будут уменьшаться. Таким образом, самый большой из отрицательных корней получается при $n=-1$.
Ответ: $-\pi$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 30.9 расположенного на странице 221 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №30.9 (с. 221), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.