Номер 30.6, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.6. Решите уравнение:

1) $4\sin^2x + 8\cos x + 1 = 0;$

2) $2\cos^2x = 1 + \sin x;$

3) $\cos 2x + 8\sin x = 3;$

4) $\cos 2x + \sin^2x = \cos x;$

5) $5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 3 = 0;$

6) $\cos x + \sin\frac{x}{2} = 0;$

7) $2\cos^24x - 6\cos^22x + 1 = 0;$

8) $\operatorname{tg} x + 2\operatorname{ctg} x = 3;$

9) $\sqrt{3}\operatorname{tg} x + 3 = \frac{3}{\cos^2x};$

10) $4\sin^2x + 9\operatorname{ctg}^2x = 6.$

1) Исходное уравнение: $4\sin^2x + 8\cos x + 1 = 0$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$4(1 - \cos^2x) + 8\cos x + 1 = 0$
$4 - 4\cos^2x + 8\cos x + 1 = 0$
$-4\cos^2x + 8\cos x + 5 = 0$
$4\cos^2x - 8\cos x - 5 = 0$
Сделаем замену переменной $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$.
$4t^2 - 8t - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Корни: $t_1 = \frac{8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$.
Корень $t_2 = 5/2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной: $\cos x = -1/2$.
Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-1/2) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $2\cos^2x = 1 + \sin x$.
Используем тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$:
$2(1 - \sin^2x) = 1 + \sin x$
$2 - 2\sin^2x = 1 + \sin x$
$2\sin^2x + \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + t - 1 = 0$
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Получаем два случая:
1) $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = 1/2 \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin(1/2) + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\cos 2x + 8\sin x = 3$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$:
$1 - 2\sin^2x + 8\sin x = 3$
$2\sin^2x - 8\sin x + 2 = 0$
$\sin^2x - 4\sin x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$t^2 - 4t + 1 = 0$
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни: $t = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$t_1 = 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.73 = 3.73$, что больше 1 (посторонний корень).
$t_2 = 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.73 = 0.27$, что удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Итак, $\sin x = 2 - \sqrt{3}$.
Решение: $x = (-1)^k \arcsin(2 - \sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(2 - \sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $\cos 2x + \sin^2x = \cos x$.
Используем формулу $\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x$:
$(\cos^2x - \sin^2x) + \sin^2x = \cos x$
$\cos^2x = \cos x$
$\cos^2x - \cos x = 0$
$\cos x (\cos x - 1) = 0$
Это равенство выполняется, если:
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \quad x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 3 = 0$.
Используем формулу двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$, где $\alpha = x/6$:
$\cos\frac{x}{3} = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}$.
$5\sin\frac{x}{6} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{6}) + 3 = 0$
$2\sin^2\frac{x}{6} + 5\sin\frac{x}{6} + 2 = 0$
Сделаем замену $t = \sin\frac{x}{6}$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + 5t + 2 = 0$
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$ (посторонний корень) и $t_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене: $\sin\frac{x}{6} = -1/2$.
$\frac{x}{6} = (-1)^k \arcsin(-1/2) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^{k+1}\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1}\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $\cos x + \sin\frac{x}{2} = 0$.
Используем формулу $\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$:
$1 - 2\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 0$
$2\sin^2\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin\frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - t - 1 = 0$
Корни: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{1-4(2)(-1)}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{1-3}{4} = -1/2$.
Оба корня подходят.
1) $\sin\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin\frac{x}{2} = -1/2 \Rightarrow \frac{x}{2} = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 4\pi k; \quad x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7) Исходное уравнение: $2\cos^2(4x) - 6\cos^2(2x) + 1 = 0$.
Используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$ для $\alpha = 2x$:
$\cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2}$.
$2\cos^2(4x) - 6 \cdot \frac{1+\cos(4x)}{2} + 1 = 0$
$2\cos^2(4x) - 3(1+\cos(4x)) + 1 = 0$
$2\cos^2(4x) - 3 - 3\cos(4x) + 1 = 0$
$2\cos^2(4x) - 3\cos(4x) - 2 = 0$
Сделаем замену $t = \cos(4x)$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - 3t - 2 = 0$.
Корни: $t_1 = \frac{3 + \sqrt{9-4(2)(-2)}}{4} = \frac{3+5}{4} = 2$ (посторонний корень) и $t_2 = \frac{3-5}{4} = -1/2$.
Возвращаемся к замене: $\cos(4x) = -1/2$.
$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

8) Исходное уравнение: $\tg x + 2\ctg x = 3$.
Область допустимых значений: $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$, т.е. $x \ne \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\ctg x = 1/\tg x$:
$\tg x + \frac{2}{\tg x} = 3$.
Сделаем замену $t = \tg x$ (при этом $t \ne 0$).
$t + 2/t = 3$. Умножим на $t$:
$t^2 + 2 = 3t \Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0$.
По теореме Виета корни $t_1=1, t_2=2$.
1) $\tg x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg x = 2 \Rightarrow x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k; \quad x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

9) Исходное уравнение: $\sqrt{3}\tg x + 3 = \frac{3}{\cos^2x}$.
ОДЗ: $\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\frac{1}{\cos^2x} = 1 + \tg^2x$:
$\sqrt{3}\tg x + 3 = 3(1 + \tg^2x)$
$\sqrt{3}\tg x + 3 = 3 + 3\tg^2x$
$3\tg^2x - \sqrt{3}\tg x = 0$
$\tg x (3\tg x - \sqrt{3}) = 0$.
1) $\tg x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $3\tg x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pi k; \quad x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

10) Исходное уравнение: $4\sin^2x + 9\ctg^2x = 6$.
ОДЗ: $\sin x \ne 0 \Rightarrow x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\ctg^2x = \frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}$.
$4\sin^2x + 9\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x} = 6$.
Сделаем замену $t = \sin^2x$. Из ОДЗ следует, что $0 < t \le 1$.
$4t + \frac{9(1-t)}{t} = 6$. Умножим на $t$:
$4t^2 + 9(1-t) = 6t \Rightarrow 4t^2 - 15t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-15)^2 - 4(4)(9) = 225 - 144 = 81 = 9^2$.
Корни: $t_1 = \frac{15+9}{8} = 3$ (посторонний корень) и $t_2 = \frac{15-9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Возвращаемся к замене: $\sin^2x = 3/4$.
Применим формулу понижения степени $\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$:
$\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow 1 - \cos(2x) = \frac{3}{2} \Rightarrow \cos(2x) = - \frac{1}{2}$.
$2x = \pm \arccos(-1/2) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.