Номер 28.3, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) $ \operatorname{tg} 2x = 1; $

2) $ \operatorname{tg} \frac{x}{3} = \frac{1}{3}; $

3) $ \operatorname{tg} \left(-\frac{7x}{4}\right) = \sqrt{3}; $

4) $ \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = 0; $

5) $ \operatorname{ctg} 6x = \frac{6}{11}; $

6) $ \operatorname{ctg} (-9x) = \frac{\sqrt{3}}{3}. $

1) Исходное уравнение: $\tg(2x) = 1$.
Общее решение уравнения вида $\tg(y) = a$ записывается как $y = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $y = 2x$ и $a = 1$.
Так как $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\tg\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{3}$.
Используем общую формулу решения для тангенса: $y = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $y = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{1}{3}$ не является стандартным табличным значением, решение записывается с использованием функции арктангенса.
$\frac{x}{3} = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$
Чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на 3:
$x = 3\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 3\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + 3\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\tg\left(-\frac{7x}{4}\right) = \sqrt{3}$.
Воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\tg(-z) = -\tg(z)$.
$-\tg\left(\frac{7x}{4}\right) = \sqrt{3}$
$\tg\left(\frac{7x}{4}\right) = -\sqrt{3}$
Применяем общую формулу $y = \arctan(a) + \pi n$, где $y = \frac{7x}{4}$ и $a = -\sqrt{3}$.
Так как $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:
$\frac{7x}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{4}{7}$:
$x = \frac{4}{7}\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi n}{7}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $\ctg\left(\frac{x}{2}\right) = 0$.
Общее решение уравнения вида $\ctg(y) = a$ записывается как $y = \text{arccot}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $y = \frac{x}{2}$ и $a = 0$.
Так как $\text{arccot}(0) = \frac{\pi}{2}$, получаем:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на 2:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $\ctg(6x) = \frac{6}{11}$.
Используем общую формулу решения для котангенса: $y = \text{arccot}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $y = 6x$ и $a = \frac{6}{11}$. Поскольку $\frac{6}{11}$ не является стандартным табличным значением, решение записывается с использованием функции арккотангенса.
$6x = \text{arccot}\left(\frac{6}{11}\right) + \pi n$
Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на 6:
$x = \frac{1}{6}\text{arccot}\left(\frac{6}{11}\right) + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{6}\text{arccot}\left(\frac{6}{11}\right) + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $\ctg(-9x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Воспользуемся свойством нечетности котангенса: $\ctg(-z) = -\ctg(z)$.
$-\ctg(9x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\ctg(9x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Применяем общую формулу $y = \text{arccot}(a) + \pi n$, где $y = 9x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как $\text{arccot}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$9x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 9:
$x = \frac{2\pi}{27} + \frac{\pi n}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{27} + \frac{\pi n}{9}$, $n \in \mathbb{Z}$.