Номер 4, страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Напишите формулу корней уравнения $tg x = b$; $ctg x = b$.

$\operatorname{tg} x = b$

Уравнение $\operatorname{tg} x = b$ является одним из простейших тригонометрических уравнений. Функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает все действительные значения, поэтому данное уравнение имеет решения при любом значении $b \in \mathbb{R}$.

По определению, арктангенсом числа $b$ ($\operatorname{arctg} b$) называется угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $b$. Это значение является одним из корней уравнения.

Функция тангенса является периодической, её наименьший положительный период равен $\pi$. Это означает, что значения тангенса повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Следовательно, чтобы найти все корни уравнения, достаточно к одному из корней, $\operatorname{arctg} b$, прибавить все целые кратные периода $\pi$.

Таким образом, общая формула для всех корней уравнения имеет вид:

$x = \operatorname{arctg} b + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).

Ответ: $x = \operatorname{arctg} b + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\operatorname{ctg} x = b$

Уравнение $\operatorname{ctg} x = b$ также является простейшим тригонометрическим уравнением. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ принимает все действительные значения, поэтому данное уравнение имеет решения при любом значении $b \in \mathbb{R}$.

По определению, арккотангенсом числа $b$ ($\operatorname{arcctg} b$) называется угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $b$. Это значение является одним из корней уравнения.

Функция котангенса, как и тангенс, имеет наименьший положительный период, равный $\pi$. Поэтому все решения уравнения можно найти, прибавляя к одному частному решению, $\operatorname{arcctg} b$, все целые кратные периода $\pi$.

Таким образом, общая формула для всех корней уравнения имеет вид:

$x = \operatorname{arcctg} b + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).

Ответ: $x = \operatorname{arcctg} b + \pi k, k \in \mathbb{Z}$