Номер 28.2, страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.2. Решите уравнение:

1) $tg x = 1$;

2) $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

3) $tg x = -\sqrt{3}$;

4) $tg x = -2$;

5) $ctg x = \sqrt{3}$;

6) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

7) $tg x = 0$.

1) Общее решение уравнения вида $tg x = a$ записывается формулой $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для уравнения $tg x = 1$, имеем $a = 1$.
Значение арктангенса от 1 равно $\frac{\pi}{4}$, так как тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1.
Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для уравнения $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем общую формулу $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Значение $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Для уравнения $tg x = -\sqrt{3}$, имеем $a = -\sqrt{3}$.
Используем формулу $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и свойство нечетности арктангенса: $\arctan(-a) = -\arctan(a)$.
$\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Таким образом, решение уравнения:
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Для уравнения $tg x = -2$, имеем $a = -2$.
Так как -2 не является стандартным табличным значением для тангенса, решение записывается с помощью функции арктангенс.
$x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, решение можно записать в виде:
$x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) Общее решение уравнения вида $ctg x = a$ записывается формулой $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для уравнения $ctg x = \sqrt{3}$, имеем $a = \sqrt{3}$.
Значение $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) Для уравнения $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем формулу $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и свойство для арккотангенса отрицательного аргумента: $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$.
$\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Таким образом, решение уравнения:
$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7) Уравнение $tg x = 0$ является частным случаем.
Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю ($\sin x = 0$), а косинус не равен нулю.
Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\cos x = \pm 1 \neq 0$, поэтому условие выполняется.
Решение также можно найти по общей формуле: $x = \arctan(0) + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.