Номер 27.6, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.6. Решите уравнение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{18}-8x\right)=1;$

2) $2\sin\left(\frac{x}{5}-4\right)+1=0.$

1)

Дано уравнение: $ \sin(\frac{\pi}{18} - 8x) = 1 $.

Это частный случай тригонометрического уравнения вида $ \sin(t) = 1 $. Его решение имеет вид $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $ (k — любое целое число).

В данном уравнении аргумент синуса $ t = \frac{\pi}{18} - 8x $. Приравняем его к общему решению:

$ \frac{\pi}{18} - 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Теперь необходимо выразить переменную $ x $. Для этого сначала изолируем слагаемое с $ x $:

$ -8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} + 2\pi k $

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18:

$ -8x = \frac{9\pi}{18} - \frac{\pi}{18} + 2\pi k $

$ -8x = \frac{8\pi}{18} + 2\pi k $

Сократим дробь $ \frac{8\pi}{18} $ на 2:

$ -8x = \frac{4\pi}{9} + 2\pi k $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на -8:

$ x = \frac{4\pi}{9 \cdot (-8)} + \frac{2\pi k}{-8} $

$ x = -\frac{4\pi}{72} - \frac{2\pi k}{8} $

Сократим получившиеся дроби:

$ x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi k}{4} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение: $ 2\sin(\frac{x}{5} - 4) + 1 = 0 $.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить синус:

$ 2\sin(\frac{x}{5} - 4) = -1 $

$ \sin(\frac{x}{5} - 4) = -\frac{1}{2} $

Это общее тригонометрическое уравнение вида $ \sin(t) = a $. Общая формула для его решения: $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = \frac{x}{5} - 4 $ и $ a = -\frac{1}{2} $.

Найдем значение арксинуса: $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

Подставим известные значения в общую формулу решения:

$ \frac{x}{5} - 4 = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k $

Выражение $ (-1)^k \cdot (-1) $ можно записать как $ (-1)^{k+1} $:

$ \frac{x}{5} - 4 = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $

Теперь выразим $ x $. Перенесем 4 в правую часть уравнения:

$ \frac{x}{5} = 4 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы найти $ x $:

$ x = 5 \left( 4 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \right) $

$ x = 20 + (-1)^{k+1} \frac{5\pi}{6} + 5\pi k $

Ответ: $ x = 20 + (-1)^{k+1} \frac{5\pi}{6} + 5\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.