Номер 27.3, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.3. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{x}{6} = -\frac{1}{2}$;

2) $\sin 5x = 1$;

3) $\sin (-8x) = \frac{2}{9}$.

1) $ \sin\frac{x}{6} = -\frac{1}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin(t) = a $. Общее решение такого уравнения записывается по формуле: $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае аргумент синуса $ t = \frac{x}{6} $ и значение $ a = -\frac{1}{2} $.

Найдем значение арксинуса: $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

Подставим известные значения в общую формулу решения:

$ \frac{x}{6} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k $

Упростим выражение:

$ \frac{x}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, умножим обе части уравнения на 6:

$ x = 6 \cdot \left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \right) $

$ x = (-1)^{k+1} \pi + 6\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin 5x = 1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $ \sin(t) = 1 $ имеет вид: $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае аргумент синуса $ t = 5x $.

Подставляем в формулу для частного случая:

$ 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 5:

$ x = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin(-8x) = \frac{2}{9} $

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

$ -\sin(8x) = \frac{2}{9} $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ \sin(8x) = -\frac{2}{9} $.

Применим общую формулу решения для уравнения $ \sin(t) = a $: $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ t = 8x $ и $ a = -\frac{2}{9} $.

Используем свойство арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $:

$ \arcsin\left(-\frac{2}{9}\right) = -\arcsin\left(\frac{2}{9}\right) $.

Подставим в общую формулу:

$ 8x = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{2}{9}\right)\right) + \pi k $

$ 8x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 8:

$ x = \frac{(-1)^{k+1}}{8} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{(-1)^{k+1}}{8} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z} $.