Номер 27.4, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.4. Решите уравнение:

1) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\sin \frac{x}{7} = 0;$

3) $\sin \frac{2x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

1) Решим уравнение $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin t = a$. Общее решение для такого уравнения записывается по формуле $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

В данном уравнении $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим эти значения в общую формулу решения:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{4}}{2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin \frac{x}{7} = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Уравнение $\sin t = 0$ имеет решение $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{x}{7}$.

Приравниваем аргумент синуса к общему решению:

$\frac{x}{7} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 7:

$x = 7\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 7\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sin \frac{2x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем общую формулу решения для уравнения $\sin t = a$: $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $t = \frac{2x}{5}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем значение арксинуса. Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, то $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{2x}{5} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Можно упростить выражение, используя свойство степеней $(-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1}$:

$\frac{2x}{5} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{5}{2}$:

$x = \frac{5}{2} \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$

$x = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.