Номер 27.2, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.2. Решите уравнение:

1) $\sin x = \frac{1}{2}$;

2) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$;

4) $\sin x = 1,5$.

1) Решить уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $ \sin x = a $, где $ |a| \le 1 $, имеет вид: $ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in Z $ ( $Z$ — множество целых чисел).

В данном случае $ a = \frac{1}{2} $. Значение арксинуса от $ \frac{1}{2} $ является табличным: $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Подставим это значение в общую формулу решения:

$ x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z $.

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z $.

2) Решить уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используем ту же общую формулу для решения: $ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in Z $.

Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Для нахождения арксинуса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-y) = -\arcsin(y) $.

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

Теперь подставим найденное значение в общую формулу:

$ x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n, n \in Z $.

Выражение можно упростить, внеся знак "минус" под степень: $ (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1} $.

$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.

3) Решить уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} $.

Сначала необходимо проверить, имеет ли уравнение решение. Решения существуют, если значение $ a = \frac{\sqrt{5}}{3} $ находится в пределах области значений функции синус, то есть в отрезке $ [-1, 1] $.

Оценим значение $ \frac{\sqrt{5}}{3} $. Мы знаем, что $ 4 < 5 < 9 $, следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} $, что дает $ 2 < \sqrt{5} < 3 $.

Разделим все части неравенства на 3: $ \frac{2}{3} < \frac{\sqrt{5}}{3} < 1 $.

Поскольку значение $ \frac{\sqrt{5}}{3} $ принадлежит интервалу $ (-1, 1) $, уравнение имеет решения. Данное значение не является табличным, поэтому ответ выражается через функцию арксинус.

Применяем общую формулу $ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in Z $:

$ x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}) + \pi n, n \in Z $.

Ответ: $ x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}) + \pi n, n \in Z $.

4) Решить уравнение $ \sin x = 1,5 $.

Область значений тригонометрической функции $ y = \sin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любого действительного угла $ x $ должно выполняться неравенство $ -1 \le \sin x \le 1 $.

В данном уравнении правая часть равна $ 1,5 $. Так как $ 1,5 > 1 $, это значение не входит в область значений функции синус.

Следовательно, не существует такого действительного числа $ x $, синус которого был бы равен $ 1,5 $.

Ответ: решений нет.