Номер 26.10, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.10. Найдите все корни уравнения $\cos\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < 4\pi$.

Для решения задачи сначала найдем общее решение уравнения $\cos\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{2}$, а затем отберем те корни, которые удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < 4\pi$.

1. Нахождение общего решения уравнения.
Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ записывается в виде $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{12}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Поскольку $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$x + \frac{\pi}{12} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Это дает нам две серии решений:

Первая серия:
$x + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = \frac{8\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия:
$x + \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = -\frac{8\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = -\frac{9\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней, удовлетворяющих неравенству.
Нам нужно найти все корни из этих двух серий, которые лежат в интервале $-\frac{\pi}{6} < x < 4\pi$.
Для удобства приведем границы интервала к знаменателю 12: $-\frac{2\pi}{12} < x < \frac{48\pi}{12}$.

Проанализируем первую серию корней $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$, подставляя различные целые значения $k$:
При $k = -1$: $x = \frac{7\pi}{12} - 2\pi = -\frac{17\pi}{12}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{17\pi}{12} < -\frac{2\pi}{12}$.
При $k = 0$: $x = \frac{7\pi}{12}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{2\pi}{12} < \frac{7\pi}{12} < \frac{48\pi}{12}$.
При $k = 1$: $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi = \frac{31\pi}{12}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{2\pi}{12} < \frac{31\pi}{12} < \frac{48\pi}{12}$.
При $k = 2$: $x = \frac{7\pi}{12} + 4\pi = \frac{55\pi}{12}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{55\pi}{12} > \frac{48\pi}{12}$.

Проанализируем вторую серию корней $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{9\pi}{12} + 2\pi k$:
При $k = 0$: $x = -\frac{9\pi}{12}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{9\pi}{12} < -\frac{2\pi}{12}$.
При $k = 1$: $x = -\frac{9\pi}{12} + 2\pi = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{2\pi}{12} < \frac{15\pi}{12} < \frac{48\pi}{12}$.
При $k = 2$: $x = -\frac{9\pi}{12} + 4\pi = \frac{39\pi}{12} = \frac{13\pi}{4}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{2\pi}{12} < \frac{39\pi}{12} < \frac{48\pi}{12}$.
При $k = 3$: $x = -\frac{9\pi}{12} + 6\pi = \frac{63\pi}{12}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{63\pi}{12} > \frac{48\pi}{12}$.

Таким образом, мы нашли четыре корня, удовлетворяющие заданному условию. Расположим их в порядке возрастания: $\frac{7\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{4}$ ($\frac{15\pi}{12}$), $\frac{31\pi}{12}$, $\frac{13\pi}{4}$ ($\frac{39\pi}{12}$).

Ответ: $\frac{7\pi}{12}, \frac{5\pi}{4}, \frac{31\pi}{12}, \frac{13\pi}{4}$.