gdz.top
Номер 26.8, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 26. Уравнение соs х = b. Упражнения - номер 26.8, страница 195.
№26.7
№26.8 (с. 195)
Условие. №26.8 (с. 195)
26.8. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\cos \frac{x}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решение 1. №26.8 (с. 195)
Решение 2. №26.8 (с. 195)
Решение 3. №26.8 (с. 195)
Решение 4. №26.8 (с. 195)
Решение 5. №26.8 (с. 195)
26.8.
Дано тригонометрическое уравнение:
$\cos\frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение уравнения вида $\cos(t) = a$ находится по формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).
В данном уравнении сделаем замену $t = \frac{x}{4}$. Тогда уравнение примет вид $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значение арккосинуса для данного числа: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $\frac{x}{4}$ вместо $t$:
$\frac{x}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:
$x = 4 \cdot \left(\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right)$
$x = \pm 3\pi + 8\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
Мы получили две серии корней:
1) $x_1 = 3\pi + 8\pi k$
2) $x_2 = -3\pi + 8\pi k$
По условию задачи, нам нужно найти наименьший положительный корень, то есть наименьшее значение $x > 0$. Для этого будем подставлять различные целые значения $k$ в каждую серию решений.
Рассмотрим первую серию $x_1 = 3\pi + 8\pi k$:
При $k = -1$: $x_1 = 3\pi - 8\pi = -5\pi$ (отрицательный корень).
При $k = 0$: $x_1 = 3\pi + 0 = 3\pi$ (положительный корень).
Наименьший положительный корень в этой серии — $3\pi$.
Рассмотрим вторую серию $x_2 = -3\pi + 8\pi k$:
При $k = 0$: $x_2 = -3\pi + 0 = -3\pi$ (отрицательный корень).
При $k = 1$: $x_2 = -3\pi + 8\pi = 5\pi$ (положительный корень).
Наименьший положительный корень в этой серии — $5\pi$.
Сравнивая наименьшие положительные корни из обеих серий ($3\pi$ и $5\pi$), выбираем наименьший из них.
$3\pi < 5\pi$
Следовательно, наименьший положительный корень уравнения — это $3\pi$.
Ответ: $3\pi$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 26.8 расположенного на странице 195 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №26.8 (с. 195), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.