Номер 26.6, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.6. Решите уравнение:

1) $\cos \left(\frac{\pi}{9}-4x\right) = 1;$

2) $\sqrt{2} \cos \left(\frac{x}{2}+3\right)+1 = 0.$

1) Решим уравнение $ \cos(\frac{\pi}{9} - 4x) = 1 $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Равенство $ \cos(t) = 1 $ выполняется, когда аргумент косинуса $ t $ равен $ 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Приравняем аргумент нашего косинуса к этому значению:

$ \frac{\pi}{9} - 4x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь выразим $ x $ из этого уравнения. Сначала перенесем $ \frac{\pi}{9} $ в правую часть:

$ -4x = 2\pi k - \frac{\pi}{9} $

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса перед $ x $:

$ 4x = \frac{\pi}{9} - 2\pi k $

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{9} - 2\pi k \right) $

$ x = \frac{\pi}{36} - \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{\pi}{36} - \frac{\pi k}{2} $

Поскольку $ k $ — любое целое число, то $ -k $ также является любым целым числом. Поэтому решение можно записать и как $ x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $, но оставим первоначальный вид.

Ответ: $x = \frac{\pi}{36} - \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2) Решим уравнение $ \sqrt{2}\cos(\frac{x}{2} + 3) + 1 = 0 $.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $ \cos(\frac{x}{2} + 3) $. Перенесем 1 в правую часть:

$ \sqrt{2}\cos(\frac{x}{2} + 3) = -1 $

Теперь разделим обе части на $ \sqrt{2} $:

$ \cos(\frac{x}{2} + 3) = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \cos(\frac{x}{2} + 3) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение уравнения $ \cos(t) = a $ (где $ |a| \le 1 $) имеет вид $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = \frac{x}{2} + 3 $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Найдем $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) $:

$ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

Подставим это значение в общую формулу решения:

$ \frac{x}{2} + 3 = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь выразим $ x $. Сначала вычтем 3 из обеих частей:

$ \frac{x}{2} = -3 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $

Умножим обе части на 2:

$ x = 2 \left( -3 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right) $

$ x = -6 \pm 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot 2\pi k $

$ x = -6 \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k $

Ответ: $x = -6 \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$