Номер 26.2, страница 195 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.2. Решите уравнение:

1) $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

2) $ \cos x = -\frac{1}{2}; $

3) $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

4) $ \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}; $

5) $ \cos x = \frac{4}{7}. $

1) Решим уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение для уравнения вида $ \cos x = a $, при условии $ |a| \le 1 $, записывается формулой $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это табличное значение для косинуса.

Находим арккосинус: $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \cos x = -\frac{1}{2} $.

Применяем ту же общую формулу $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -\frac{1}{2} $.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $.

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) $.

Поскольку $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, то:

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Подставляем найденное значение в формулу для корней уравнения:

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение имеет вид $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. В этом уравнении $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Находим арккосинус, используя свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $:

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

Из таблицы значений мы знаем, что $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Записываем общее решение:

$ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Область значений функции $ y = \cos x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ выполняется неравенство $ -1 \le \cos x \le 1 $.

Оценим значение правой части уравнения $ \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Поскольку $ 4 < 5 $, то $ \sqrt{4} < \sqrt{5} $, что означает $ 2 < \sqrt{5} $.

Разделив обе части неравенства на 2, получим $ \frac{2}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2} $, то есть $ 1 < \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Так как значение $ \frac{\sqrt{5}}{2} $ больше 1, оно не принадлежит области значений функции косинус.

Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.

5) Решим уравнение $ \cos x = \frac{4}{7} $.

Используем общую формулу для решения $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

В этом случае $ a = \frac{4}{7} $. Так как $ 0 < 4 < 7 $, то $ 0 < \frac{4}{7} < 1 $. Значение $ a $ находится в допустимом диапазоне $ [-1, 1] $, следовательно, уравнение имеет решения.

Число $ \frac{4}{7} $ не является табличным значением для косинуса, поэтому решение выражается через функцию арккосинуса.

Подставляем $ a = \frac{4}{7} $ в общую формулу:

$ x = \pm \arccos\left(\frac{4}{7}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \arccos\left(\frac{4}{7}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.