Номер 26.1, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.1. Решите уравнение:

1) $ \cos x = \frac{1}{2}; $

2) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

4) $ \cos x = \frac{1}{3}; $

5) $ \cos x = \frac{\pi}{3}; $

6) $ \cos x = \frac{\pi}{4}. $

1) Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, записывается по формуле: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Так как $|\frac{1}{2}| \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение арккосинуса для $\frac{1}{2}$ является табличным: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставив это значение в общую формулу, получаем решение:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнений вида $\cos x = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $|\frac{\sqrt{2}}{2}| \approx \frac{1.414}{2} = 0.707 \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение арккосинуса для $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является табличным: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в общую формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $|-\frac{\sqrt{3}}{2}| \approx \frac{1.732}{2} = 0.866 \le 1$, уравнение имеет решения.
Для нахождения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Табличное значение $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{3}$.
Применяем общую формулу решения $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| \le 1$, уравнение имеет решения.
Число $\frac{1}{3}$ не является табличным значением косинуса, поэтому арккосинус этого числа записывается в явном виде $\arccos(\frac{1}{3})$.
Таким образом, решение уравнения:
$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\cos x = \frac{\pi}{3}$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.
Уравнение $\cos x = a$ имеет решения только при условии $|a| \le 1$.
В нашем случае $a = \frac{\pi}{3}$. Оценим это значение. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем:
$a = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.047$.
Так как $\frac{\pi}{3} > 1$, это значение не входит в область значений функции косинус.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

6) Решим уравнение $\cos x = \frac{\pi}{4}$.
Проверим, имеет ли данное уравнение решения. Для этого необходимо, чтобы правая часть уравнения принадлежала отрезку $[-1, 1]$.
В нашем случае $a = \frac{\pi}{4}$. Оценим это значение, используя $\pi \approx 3.14$:
$a = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} = 0.785$.
Так как $-1 \le 0.785 \le 1$, условие выполняется, и уравнение имеет решения.
Воспользуемся общей формулой решения $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\frac{\pi}{4}$ не является табличным значением для косинуса, ответ записывается через арккосинус:
$x = \pm \arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.