Номер 2, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Сколько корней имеет уравнение

$\cos x = b$

$|b| \le 1$?

Данное уравнение — это простейшее тригонометрическое уравнение $cos(x) = b$. Условие $|b| \le 1$ означает, что $-1 \le b \le 1$. Это условие является необходимым для существования корней, так как область значений функции $y = cos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ключевым свойством функции косинус, влияющим на количество корней, является её периодичность. Основной период функции $y = cos(x)$ равен $2\pi$. Это значит, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и все числа вида $x_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число, также будут являться корнями. Поскольку множество целых чисел бесконечно, наличие хотя бы одного корня гарантирует наличие бесконечного множества корней.

Рассмотрим два возможных случая для значения $b$.

1. Случай, когда $|b| < 1$, то есть $-1 < b < 1$.
В этом случае общее решение уравнения $cos(x) = b$ записывается в виде формулы: $x = \pm arccos(b) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эта формула задаёт две различные бесконечные серии корней: $x_1 = arccos(b) + 2\pi k$ и $x_2 = -arccos(b) + 2\pi k$. Поскольку $k$ может принимать любое целое значение (положительное, отрицательное или ноль), каждая серия содержит бесконечное число корней. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много решений.
Например, для уравнения $cos(x) = \frac{1}{2}$ корнями будут $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Случай, когда $|b| = 1$, то есть $b=1$ или $b=-1$.
Это частные случаи.
При $b=1$ уравнение принимает вид $cos(x) = 1$. Его решения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
При $b=-1$ уравнение принимает вид $cos(x) = -1$. Его решения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В обоих этих подслучаях, поскольку $k$ может быть любым целым числом, уравнение также имеет бесконечное множество корней.

Таким образом, при любом значении $b$, удовлетворяющем условию $|b| \le 1$, уравнение $cos(x) = b$ всегда имеет бесконечное множество корней.

Ответ: Уравнение имеет бесконечно много корней.