Номер 25.10, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.10. Докажите тождество $4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\left(30^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(60^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin\frac{3\alpha}{2}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как Л.

Л = $4 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)$

Сгруппируем множители и представим $4$ как $2 \cdot 2$:

Л = $2 \sin\frac{\alpha}{2} \left[ 2 \sin\left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \right]$

Воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Применим эту формулу к выражению в квадратных скобках, где $A = 60^\circ - \frac{\alpha}{2}$ и $B = 30^\circ - \frac{\alpha}{2}$:

$A+B = \left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 90^\circ - \alpha$

$A-B = \left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) - \left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 30^\circ$

Таким образом, выражение в скобках становится:

$2 \sin\left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \sin(90^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ)$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ и значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin(90^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ) = \cos \alpha + \frac{1}{2}$

Подставим это обратно в выражение для Л:

Л = $2 \sin\frac{\alpha}{2} \left( \cos \alpha + \frac{1}{2} \right)$

Раскроем скобки:

Л = $2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos \alpha + 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cos \alpha \sin\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}$

Снова применим формулу преобразования произведения в сумму, на этот раз $2 \cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$ к члену $2 \cos \alpha \sin\frac{\alpha}{2}$.

Здесь $A = \alpha$ и $B = \frac{\alpha}{2}$:

$A+B = \alpha + \frac{\alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2}$

$A-B = \alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Следовательно, $2 \cos \alpha \sin\frac{\alpha}{2} = \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим это в последнее выражение для Л:

Л = $\left( \sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} \right) + \sin\frac{\alpha}{2}$

Упрощая, получаем:

Л = $\sin\frac{3\alpha}{2}$

Мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.