Номер 25.4, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.4. Упростите выражение:

1) $2\sin2\alpha\sin\alpha + \cos3\alpha$;

2) $\sin\alpha - 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)$.

1) Для упрощения выражения $2\sin2\alpha\sin\alpha + \cos3\alpha$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$.

В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$. Применим формулу к первому слагаемому исходного выражения:

$2\sin2\alpha\sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha - \cos3\alpha$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\cos\alpha - \cos3\alpha) + \cos3\alpha$.

Слагаемые $-\cos3\alpha$ и $+\cos3\alpha$ взаимно уничтожаются, в результате чего остается:

$\cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

2) Для упрощения выражения $\sin\alpha - 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)$ используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов: $2\sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$.

В нашем случае $A = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}$ и $B = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}$. Применим формулу к вычитаемому:

$2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) + \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)\right)$.

Упростим аргументы синусов:

Сумма аргументов: $\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) + \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Разность аргументов: $\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, произведение равно:

$\sin\alpha + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Поскольку синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin\alpha - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\alpha - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sin\alpha - \left(\sin\alpha - \frac{1}{2}\right) = \sin\alpha - \sin\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.