Номер 24.12, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.12. Докажите тождество:

1) $1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha = -4\cos\alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}$;

2) $1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sqrt{2} \sin\frac{\alpha}{2} \sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$;

3) $\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \sin 4\alpha$.

1)

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые и применим формулу косинуса двойного угла $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$:

$1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha = (1 + \cos2\alpha) - 2\cos\alpha = 2\cos^2\alpha - 2\cos\alpha$

Вынесем общий множитель $2\cos\alpha$ за скобки:

$2\cos\alpha(\cos\alpha - 1)$

Далее воспользуемся следствием из формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$, откуда $\cos\alpha - 1 = -2\sin^2\frac{\alpha}{2}$. Подставим это в наше выражение:

$2\cos\alpha \cdot \left(-2\sin^2\frac{\alpha}{2}\right) = -4\cos\alpha \sin^2\frac{\alpha}{2}$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые и применим формулы половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ и синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$:

$1 - \sin\alpha - \cos\alpha = (1 - \cos\alpha) - \sin\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Вынесем общий множитель $2\sin\frac{\alpha}{2}$ за скобки:

$2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2}\right)$

Преобразуем выражение в скобках с помощью введения вспомогательного угла. Вынесем множитель $\sqrt{2}$:

$\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$

Так как $\cos45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, применяем формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos45^\circ - \cos\frac{\alpha}{2}\sin45^\circ\right) = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$

Подставим полученный результат в исходное преобразованное выражение:

$2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right) = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу понижения степени $\cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:

$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right)\right)}{2} - \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right)\right)}{2}$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$\frac{1}{2} \left[ 1 + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) - \left(1 + \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right)\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right) \right]$

Применим формулы приведения. Учитывая, что $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, получаем:

$\cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin(4\alpha)$

$\cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + 4\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 4\alpha\right) = -\sin(4\alpha)$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\frac{1}{2} \left[ \sin(4\alpha) - (-\sin(4\alpha)) \right] = \frac{1}{2} (\sin(4\alpha) + \sin(4\alpha)) = \frac{1}{2} (2\sin(4\alpha)) = \sin(4\alpha)$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.