Номер 24.6, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.6. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 25^{\circ} + \cos 55^{\circ}$;

2) $\cos 22^{\circ} - \sin 66^{\circ}$;

3) $\sin \alpha + \cos \beta$.

1) $ \sin{25^\circ} + \cos{55^\circ} $

Чтобы преобразовать сумму в произведение, необходимо привести оба слагаемых к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой приведения $ \sin{x} = \cos{(90^\circ - x)} $.

$ \sin{25^\circ} = \cos{(90^\circ - 25^\circ)} = \cos{65^\circ} $

Теперь исходное выражение можно переписать в виде суммы косинусов:

$ \cos{65^\circ} + \cos{55^\circ} $

Применим формулу суммы косинусов: $ \cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

$ \cos{65^\circ} + \cos{55^\circ} = 2 \cos{\frac{65^\circ+55^\circ}{2}} \cos{\frac{65^\circ-55^\circ}{2}} = 2 \cos{\frac{120^\circ}{2}} \cos{\frac{10^\circ}{2}} = 2 \cos{60^\circ} \cos{5^\circ} $

Зная, что $ \cos{60^\circ} = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos{5^\circ} = \cos{5^\circ} $

Ответ: $ \cos{5^\circ} $

2) $ \cos{22^\circ} - \sin{66^\circ} $

Приведем оба слагаемых к одной функции. Воспользуемся формулой приведения $ \cos{x} = \sin{(90^\circ - x)} $.

$ \cos{22^\circ} = \sin{(90^\circ - 22^\circ)} = \sin{68^\circ} $

Теперь исходное выражение можно переписать в виде разности синусов:

$ \sin{68^\circ} - \sin{66^\circ} $

Применим формулу разности синусов: $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

$ \sin{68^\circ} - \sin{66^\circ} = 2 \cos{\frac{68^\circ+66^\circ}{2}} \sin{\frac{68^\circ-66^\circ}{2}} = 2 \cos{\frac{134^\circ}{2}} \sin{\frac{2^\circ}{2}} = 2 \cos{67^\circ} \sin{1^\circ} $

Ответ: $ 2 \cos{67^\circ} \sin{1^\circ} $

3) $ \sin{\alpha} + \cos{\beta} $

Для преобразования в произведение приведем слагаемые к одной функции. Используем формулу приведения $ \sin{\alpha} = \cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $.

Исходное выражение примет вид:

$ \cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} + \cos{\beta} $

Применим формулу суммы косинусов: $ \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} $.

$ \cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) + \beta}{2}} \cos{\frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \beta}{2}} $

Упростим аргументы функций:

$ 2 \cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\beta - \alpha}{2})} \cos{(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha + \beta}{2})} $

Ответ: $ 2 \cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\beta - \alpha}{2})} \cos{(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha + \beta}{2})} $