Страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Запишите формулу:

1) суммы синусов;

2) разности синусов;

3) суммы косинусов;

4) разности косинусов.

1) суммы синусов

Формула суммы синусов преобразует сумму двух синусов в произведение. Согласно этой формуле, сумма синусов углов $\alpha$ и $\beta$ равна удвоенному произведению синуса их полусуммы на косинус их полуразности. Это полезно для упрощения тригонометрических выражений и решения уравнений.

Ответ: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

2) разности синусов

Формула разности синусов позволяет преобразовать разность двух синусов в произведение. Разность синусов углов $\alpha$ и $\beta$ равна удвоенному произведению синуса их полуразности на косинус их полусуммы. Эта формула, как и предыдущая, часто применяется при работе с тригонометрическими функциями.

Ответ: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$

3) суммы косинусов

Формула суммы косинусов используется для представления суммы двух косинусов в виде произведения. Сумма косинусов углов $\alpha$ и $\beta$ равна удвоенному произведению косинуса их полусуммы на косинус их полуразности.

Ответ: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

4) разности косинусов

Формула разности косинусов преобразует разность двух косинусов в произведение. Важно отметить, что в результате получается произведение двух синусов с отрицательным знаком. Разность косинусов углов $\alpha$ и $\beta$ равна минус удвоенному произведению синуса их полусуммы на синус их полуразности.

Ответ: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

24.1. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 50^\circ + \cos 20^\circ $;

2) $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha $;

3) $ \sin \beta + \sin 4\beta $;

4) $ \sin 5^\circ - \sin 3^\circ $;

5) $ \cos \frac{\pi}{18} + \cos \frac{\pi}{12} $;

6) $ \sin (x + \alpha) + \sin (x - \alpha) $;

7) $ \sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{6} \right) - \sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{3} \right) $;

8) $ \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) $.

Для решения данных задач используются формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

• Сумма косинусов: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $
• Разность косинусов: $ \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $
• Сумма синусов: $ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $
• Разность синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) $

1) $ \cos 50^\circ + \cos 20^\circ $

Применяем формулу суммы косинусов. Пусть $ x = 50^\circ $ и $ y = 20^\circ $.

$ \frac{x+y}{2} = \frac{50^\circ + 20^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{50^\circ - 20^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ $

Следовательно, $ \cos 50^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos 35^\circ \cos 15^\circ $.

Ответ: $ 2 \cos 35^\circ \cos 15^\circ $.

2) $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha $

Применяем формулу разности косинусов. Пусть $ x = 2\alpha $ и $ y = 4\alpha $.

$ \frac{x+y}{2} = \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} = \frac{6\alpha}{2} = 3\alpha $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha $

Следовательно, $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha = -2 \sin(3\alpha) \sin(-\alpha) $.

Так как $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем: $ -2 \sin(3\alpha) (-\sin(\alpha)) = 2 \sin(3\alpha) \sin(\alpha) $.

Ответ: $ 2 \sin(3\alpha) \sin(\alpha) $.

3) $ \sin \beta + \sin 4\beta $

Применяем формулу суммы синусов. Пусть $ x = \beta $ и $ y = 4\beta $. Для удобства поменяем их местами, так как сложение коммутативно: $ \sin 4\beta + \sin \beta $.

$ \frac{4\beta+\beta}{2} = \frac{5\beta}{2} $

$ \frac{4\beta-\beta}{2} = \frac{3\beta}{2} $

Следовательно, $ \sin 4\beta + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{5\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{3\beta}{2}\right) $.

Ответ: $ 2 \sin\left(\frac{5\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{3\beta}{2}\right) $.

4) $ \sin 5^\circ - \sin 3^\circ $

Применяем формулу разности синусов. Пусть $ x = 5^\circ $ и $ y = 3^\circ $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{5^\circ - 3^\circ}{2} = \frac{2^\circ}{2} = 1^\circ $

$ \frac{x+y}{2} = \frac{5^\circ + 3^\circ}{2} = \frac{8^\circ}{2} = 4^\circ $

Следовательно, $ \sin 5^\circ - \sin 3^\circ = 2 \sin 1^\circ \cos 4^\circ $.

Ответ: $ 2 \sin 1^\circ \cos 4^\circ $.

5) $ \cos \frac{\pi}{18} + \cos \frac{\pi}{12} $

Применяем формулу суммы косинусов. Пусть $ x = \frac{\pi}{18} $ и $ y = \frac{\pi}{12} $.

Для вычислений приведем дроби к общему знаменателю 36: $ \frac{\pi}{18} = \frac{2\pi}{36} $ и $ \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{36} $.

$ \frac{x+y}{2} = \frac{\frac{2\pi}{36} + \frac{3\pi}{36}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{36}}{2} = \frac{5\pi}{72} $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{\frac{2\pi}{36} - \frac{3\pi}{36}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{36}}{2} = -\frac{\pi}{72} $

Следовательно, $ \cos\frac{\pi}{18} + \cos\frac{\pi}{12} = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{72}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{72}\right) $.

Так как $ \cos(-z) = \cos(z) $, получаем: $ 2 \cos\left(\frac{5\pi}{72}\right) \cos\left(\frac{\pi}{72}\right) $.

Ответ: $ 2 \cos\left(\frac{5\pi}{72}\right) \cos\left(\frac{\pi}{72}\right) $.

6) $ \sin(x+\alpha) + \sin(x-\alpha) $

Применяем формулу суммы синусов. Пусть $ A = x+\alpha $ и $ B = x-\alpha $.

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(x+\alpha)+(x-\alpha)}{2} = \frac{2x}{2} = x $

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(x+\alpha)-(x-\alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Следовательно, $ \sin(x+\alpha) + \sin(x-\alpha) = 2 \sin x \cos \alpha $.

Ответ: $ 2 \sin x \cos \alpha $.

7) $ \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right) $

Применяем формулу разности синусов. Пусть $ x = 2\alpha - \frac{\pi}{6} $ и $ y = 2\alpha - \frac{\pi}{3} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{12} $

$ \frac{x+y}{2} = \frac{\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{4\alpha - \frac{3\pi}{6}}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = 2\alpha - \frac{\pi}{4} $

Следовательно, $ \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $.

Ответ: $ 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $.

8) $ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) $

Применяем формулу суммы косинусов. Пусть $ x = \frac{\pi}{3} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{3} - \alpha $.

$ \frac{x+y}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Следовательно, $ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(\alpha) $.

Так как $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $, получаем: $ 2 \cdot \frac{1}{2} \cos(\alpha) = \cos(\alpha) $.

Ответ: $ \cos \alpha $.

24.2. Преобразуйте в произведение:

1) $cos16^{\circ} - cos36^{\circ}$;

2) $sin28^{\circ} + sin12^{\circ}$;

3) $cos3\alpha + cos5\alpha$;

4) $sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)$;

5) $sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$;

6) $cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$.

1)

Для преобразования разности косинусов в произведение используем соответствующую формулу:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

В данном случае $x = 16^\circ$ и $y = 36^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$\cos 16^\circ - \cos 36^\circ = -2 \sin\left(\frac{16^\circ+36^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{16^\circ-36^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{52^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = -2 \sin(26^\circ) \sin(-10^\circ)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-A) = -\sin A$, получаем:

$-2 \sin(26^\circ) (-\sin(10^\circ)) = 2 \sin(26^\circ) \sin(10^\circ)$

Ответ: $2 \sin(26^\circ) \sin(10^\circ)$

2)

Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Здесь $x = 28^\circ$ и $y = 12^\circ$. Подставим значения в формулу:

$\sin 28^\circ + \sin 12^\circ = 2 \sin\left(\frac{28^\circ+12^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{28^\circ-12^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{40^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{16^\circ}{2}\right) = 2 \sin(20^\circ) \cos(8^\circ)$

Ответ: $2 \sin(20^\circ) \cos(8^\circ)$

3)

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов:

$\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

В этом выражении $x = 3\alpha$ и $y = 5\alpha$. Подставляем в формулу:

$\cos 3\alpha + \cos 5\alpha = 2 \cos\left(\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{3\alpha-5\alpha}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{-2\alpha}{2}\right) = 2 \cos(4\alpha) \cos(-\alpha)$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-A) = \cos A$, получаем:

$2 \cos(4\alpha) \cos(\alpha)$

Ответ: $2 \cos(4\alpha) \cos(\alpha)$

4)

Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

В нашем случае $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha - \beta$. Подставим в формулу:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos\left(\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\right) \sin\left(\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{2\beta}{2}\right) = 2 \cos(\alpha) \sin(\beta)$

Ответ: $2 \cos(\alpha) \sin(\beta)$

5)

Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Здесь $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} - \alpha$. Подставим в формулу:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = 2 \sin\left(\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2}\right) \cos\left(\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2}\right)$

Упростим аргументы:

$= 2 \sin\left(\frac{\frac{2\pi}{3}}{2}\right) \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(\alpha)$

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) = \sqrt{3} \cos(\alpha)$

Ответ: $\sqrt{3} \cos(\alpha)$

6)

Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Здесь $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} - \alpha$. Подставим в формулу:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = -2 \sin\left(\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2}\right) \sin\left(\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2}\right)$

Упростим аргументы:

$= -2 \sin\left(\frac{\frac{2\pi}{3}}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin(\alpha)$

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) = -\sqrt{3} \sin(\alpha)$

Ответ: $-\sqrt{3} \sin(\alpha)$

24.3. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 8\alpha + \sin 2\alpha}{\cos 8\alpha + \cos 2\alpha}$;

2) $\frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 5\alpha - \cos \alpha}$;

3) $\frac{\cos 74^\circ - \cos 14^\circ}{\sin 74^\circ + \sin 14^\circ}$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Формула суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Формула суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $\sin 8\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\left(\frac{8\alpha+2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{8\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2 \sin(5\alpha) \cos(3\alpha)$

Знаменатель: $\cos 8\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\left(\frac{8\alpha+2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{8\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2 \cos(5\alpha) \cos(3\alpha)$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin 8\alpha + \sin 2\alpha}{\cos 8\alpha + \cos 2\alpha} = \frac{2 \sin(5\alpha) \cos(3\alpha)}{2 \cos(5\alpha) \cos(3\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\cos(3\alpha)$ (при условии, что $\cos(3\alpha) \neq 0$):

$\frac{\sin(5\alpha)}{\cos(5\alpha)} = \tan(5\alpha)$

Ответ: $\tan(5\alpha)$

2) Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

Формула разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Формула разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $\sin 5\alpha - \sin \alpha = 2 \cos\left(\frac{5\alpha+\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{5\alpha-\alpha}{2}\right) = 2 \cos(3\alpha) \sin(2\alpha)$

Знаменатель: $\cos 5\alpha - \cos \alpha = -2 \sin\left(\frac{5\alpha+\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{5\alpha-\alpha}{2}\right) = -2 \sin(3\alpha) \sin(2\alpha)$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 5\alpha - \cos \alpha} = \frac{2 \cos(3\alpha) \sin(2\alpha)}{-2 \sin(3\alpha) \sin(2\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin(2\alpha)$ (при условии, что $\sin(2\alpha) \neq 0$):

$\frac{\cos(3\alpha)}{-\sin(3\alpha)} = -\cot(3\alpha)$

Ответ: $-\cot(3\alpha)$

3) Для упрощения этого выражения также используем формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

Формула разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Формула суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби, где $x = 74^\circ$ и $y = 14^\circ$.

Числитель: $\cos 74^\circ - \cos 14^\circ = -2 \sin\left(\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{74^\circ-14^\circ}{2}\right) = -2 \sin(44^\circ) \sin(30^\circ)$

Знаменатель: $\sin 74^\circ + \sin 14^\circ = 2 \sin\left(\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{74^\circ-14^\circ}{2}\right) = 2 \sin(44^\circ) \cos(30^\circ)$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{\cos 74^\circ - \cos 14^\circ}{\sin 74^\circ + \sin 14^\circ} = \frac{-2 \sin(44^\circ) \sin(30^\circ)}{2 \sin(44^\circ) \cos(30^\circ)}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin(44^\circ)$:

$\frac{-\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = -\tan(30^\circ)$

Значение тангенса 30 градусов является табличным: $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, выражение равно $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

24.4. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 6\alpha + \cos 4\alpha}{\cos \alpha + \cos 9\alpha}$;

2) $\frac{\cos \alpha - \cos 11\alpha}{\sin 11\alpha - \sin \alpha}$;

3) $\frac{\cos 58^\circ + \cos 32^\circ}{\sin 58^\circ + \sin 32^\circ}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{\cos 6\alpha + \cos 4\alpha}{\cos \alpha + \cos 9\alpha}$ воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

Преобразуем числитель:

$\cos 6\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = 2 \cos\frac{10\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos \alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$\cos \alpha + \cos 9\alpha = 2 \cos\frac{\alpha+9\alpha}{2} \cos\frac{\alpha-9\alpha}{2} = 2 \cos\frac{10\alpha}{2} \cos\frac{-8\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos(-4\alpha) = 2 \cos 5\alpha \cos 4\alpha$, так как $\cos(-x) = \cos x$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \cos 5\alpha \cos \alpha}{2 \cos 5\alpha \cos 4\alpha}$.

Сократим общие множители $2$ и $\cos 5\alpha$ (при условии, что $\cos 5\alpha \ne 0$):

$\frac{\cos \alpha}{\cos 4\alpha}$.

Ответ: $\frac{\cos \alpha}{\cos 4\alpha}$.

2) Для упрощения выражения $\frac{\cos \alpha - \cos 11\alpha}{\sin 11\alpha - \sin \alpha}$ используем формулы разности косинусов и разности синусов:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$

Преобразуем числитель:

$\cos \alpha - \cos 11\alpha = -2 \sin\frac{\alpha+11\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-11\alpha}{2} = -2 \sin\frac{12\alpha}{2} \sin\frac{-10\alpha}{2} = -2 \sin 6\alpha \sin(-5\alpha)$.

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем: $2 \sin 6\alpha \sin 5\alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$\sin 11\alpha - \sin \alpha = 2 \sin\frac{11\alpha-\alpha}{2} \cos\frac{11\alpha+\alpha}{2} = 2 \sin\frac{10\alpha}{2} \cos\frac{12\alpha}{2} = 2 \sin 5\alpha \cos 6\alpha$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{2 \sin 6\alpha \sin 5\alpha}{2 \sin 5\alpha \cos 6\alpha}$.

Сократим общие множители $2$ и $\sin 5\alpha$ (при условии, что $\sin 5\alpha \ne 0$):

$\frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha} = \tan 6\alpha$.

Ответ: $\tan 6\alpha$.

3) Для упрощения выражения $\frac{\cos 58^\circ + \cos 32^\circ}{\sin 58^\circ + \sin 32^\circ}$ воспользуемся формулами суммы косинусов и суммы синусов:

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Преобразуем числитель:

$\cos 58^\circ + \cos 32^\circ = 2 \cos\frac{58^\circ+32^\circ}{2} \cos\frac{58^\circ-32^\circ}{2} = 2 \cos\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{26^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \cos 13^\circ$.

Преобразуем знаменатель:

$\sin 58^\circ + \sin 32^\circ = 2 \sin\frac{58^\circ+32^\circ}{2} \cos\frac{58^\circ-32^\circ}{2} = 2 \sin\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{26^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos 13^\circ$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{2 \cos 45^\circ \cos 13^\circ}{2 \sin 45^\circ \cos 13^\circ}$.

Сократим общие множители $2$ и $\cos 13^\circ$ (который не равен нулю):

$\frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \cot 45^\circ$.

Значение котангенса 45 градусов равно 1.

Ответ: $1$.

24.5. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 20^\circ + \cos 20^\circ$;

2) $\cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{8}$;

3) $\sin \alpha - \cos \alpha$.

1)

Для преобразования суммы в произведение представим косинус в виде синуса с помощью формулы приведения $ \cos{\alpha} = \sin{(90^\circ - \alpha)} $. Затем воспользуемся формулой суммы синусов $ \sin{x} + \sin{y} = 2 \sin{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} $.

$ \sin{20^\circ} + \cos{20^\circ} = \sin{20^\circ} + \sin{(90^\circ - 20^\circ)} = \sin{20^\circ} + \sin{70^\circ} $.

Применяем формулу суммы синусов:

$ \sin{20^\circ} + \sin{70^\circ} = 2 \sin{\frac{20^\circ + 70^\circ}{2}} \cos{\frac{20^\circ - 70^\circ}{2}} = 2 \sin{\frac{90^\circ}{2}} \cos{\frac{-50^\circ}{2}} = 2 \sin{45^\circ} \cos{(-25^\circ)} $.

Используя свойство чётности косинуса $ \cos{(-x)} = \cos{x} $ и значение $ \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем конечный результат:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos{25^\circ} = \sqrt{2} \cos{25^\circ} $.

Ответ: $ \sqrt{2} \cos{25^\circ} $.

2)

Для преобразования разности в произведение представим косинус в виде синуса с помощью формулы приведения $ \cos{\alpha} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $. Затем воспользуемся формулой разности синусов $ \sin{x} - \sin{y} = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \sin{\frac{x-y}{2}} $.

$ \cos{\frac{\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8})} - \sin{\frac{\pi}{8}} = \sin{\frac{3\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}} $.

Применяем формулу разности синусов:

$ \sin{\frac{3\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}} = 2 \cos{\frac{\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}}{2}} \sin{\frac{\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}}{2}} = 2 \cos{\frac{\frac{4\pi}{8}}{2}} \sin{\frac{\frac{2\pi}{8}}{2}} = 2 \cos{\frac{\frac{\pi}{2}}{2}} \sin{\frac{\frac{\pi}{4}}{2}} = 2 \cos{\frac{\pi}{4}} \sin{\frac{\pi}{8}} $.

Подставляя значение $ \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{8}} $.

Ответ: $ \sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{8}} $.

3)

Для преобразования разности в произведение представим косинус в виде синуса с помощью формулы приведения $ \cos{\alpha} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $. Затем воспользуемся формулой разности синусов $ \sin{x} - \sin{y} = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \sin{\frac{x-y}{2}} $.

$ \sin{\alpha} - \cos{\alpha} = \sin{\alpha} - \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $.

Применяем формулу разности синусов:

$ \sin{\alpha} - \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = 2 \cos{\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2}} \sin{\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2}} = 2 \cos{\frac{\frac{\pi}{2}}{2}} \sin{\frac{2\alpha - \frac{\pi}{2}}{2}} = 2 \cos{\frac{\pi}{4}} \sin{(\alpha - \frac{\pi}{4})} $.

Подставляя значение $ \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{(\alpha - \frac{\pi}{4})} = \sqrt{2} \sin{(\alpha - \frac{\pi}{4})} $.

Ответ: $ \sqrt{2} \sin{(\alpha - \frac{\pi}{4})} $.

24.6. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 25^{\circ} + \cos 55^{\circ}$;

2) $\cos 22^{\circ} - \sin 66^{\circ}$;

3) $\sin \alpha + \cos \beta$.

1) $ \sin{25^\circ} + \cos{55^\circ} $

Чтобы преобразовать сумму в произведение, необходимо привести оба слагаемых к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой приведения $ \sin{x} = \cos{(90^\circ - x)} $.

$ \sin{25^\circ} = \cos{(90^\circ - 25^\circ)} = \cos{65^\circ} $

Теперь исходное выражение можно переписать в виде суммы косинусов:

$ \cos{65^\circ} + \cos{55^\circ} $

Применим формулу суммы косинусов: $ \cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

$ \cos{65^\circ} + \cos{55^\circ} = 2 \cos{\frac{65^\circ+55^\circ}{2}} \cos{\frac{65^\circ-55^\circ}{2}} = 2 \cos{\frac{120^\circ}{2}} \cos{\frac{10^\circ}{2}} = 2 \cos{60^\circ} \cos{5^\circ} $

Зная, что $ \cos{60^\circ} = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos{5^\circ} = \cos{5^\circ} $

Ответ: $ \cos{5^\circ} $

2) $ \cos{22^\circ} - \sin{66^\circ} $

Приведем оба слагаемых к одной функции. Воспользуемся формулой приведения $ \cos{x} = \sin{(90^\circ - x)} $.

$ \cos{22^\circ} = \sin{(90^\circ - 22^\circ)} = \sin{68^\circ} $

Теперь исходное выражение можно переписать в виде разности синусов:

$ \sin{68^\circ} - \sin{66^\circ} $

Применим формулу разности синусов: $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

$ \sin{68^\circ} - \sin{66^\circ} = 2 \cos{\frac{68^\circ+66^\circ}{2}} \sin{\frac{68^\circ-66^\circ}{2}} = 2 \cos{\frac{134^\circ}{2}} \sin{\frac{2^\circ}{2}} = 2 \cos{67^\circ} \sin{1^\circ} $

Ответ: $ 2 \cos{67^\circ} \sin{1^\circ} $

3) $ \sin{\alpha} + \cos{\beta} $

Для преобразования в произведение приведем слагаемые к одной функции. Используем формулу приведения $ \sin{\alpha} = \cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $.

Исходное выражение примет вид:

$ \cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} + \cos{\beta} $

Применим формулу суммы косинусов: $ \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} $.

$ \cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} + \cos{\beta} = 2 \cos{\frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) + \beta}{2}} \cos{\frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \beta}{2}} $

Упростим аргументы функций:

$ 2 \cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\beta - \alpha}{2})} \cos{(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha + \beta}{2})} $

Ответ: $ 2 \cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\beta - \alpha}{2})} \cos{(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha + \beta}{2})} $