Страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.1. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $ \cos \alpha; $

2) $ \sin 3\alpha; $

3) $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}; $

4) $ \cos 8\alpha; $

5) $ \sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right); $

6) $ \operatorname{tg} 7\alpha; $

7) $ \sin (\alpha - \beta); $

8) $ \operatorname{tg} 3. $

Для решения этой задачи необходимо представить аргумент каждой тригонометрической функции в виде удвоенного некоторого угла и затем применить соответствующую формулу двойного угла:

• $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $
• $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $
• $ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $

1) Чтобы применить формулу двойного угла к выражению $ \cos \alpha $, представим угол $ \alpha $ в виде $ 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $.
Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $, где $ x = \frac{\alpha}{2} $.
Получаем: $ \cos \alpha = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) $.
Также можно использовать и другие формы этой формулы: $ \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1 $ или $ \cos \alpha = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $.
Ответ: $ \cos \alpha = \cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) $.

2) Для выражения $ \sin 3\alpha $ представим угол $ 3\alpha $ как $ 2 \cdot \frac{3\alpha}{2} $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, подставив $ x = \frac{3\alpha}{2} $.
Получаем: $ \sin 3\alpha = \sin(2 \cdot \frac{3\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{3\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha}{2}) $.
Ответ: $ \sin 3\alpha = 2\sin(\frac{3\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha}{2}) $.

3) Для выражения $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $ представим угол $ \frac{\alpha}{2} $ как $ 2 \cdot \frac{\alpha}{4} $.
Применим формулу тангенса двойного угла $ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}(x)}{1 - \operatorname{tg}^2(x)} $, где $ x = \frac{\alpha}{4} $.
Получаем: $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{\alpha}{4})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{\alpha}{4})} $.
Ответ: $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{\alpha}{4})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{\alpha}{4})} $.

4) Для выражения $ \cos 8\alpha $ представим угол $ 8\alpha $ как $ 2 \cdot 4\alpha $.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $, подставив $ x = 4\alpha $.
Получаем: $ \cos 8\alpha = \cos(2 \cdot 4\alpha) = \cos^2(4\alpha) - \sin^2(4\alpha) $.
Ответ: $ \cos 8\alpha = \cos^2(4\alpha) - \sin^2(4\alpha) $.

5) Для выражения $ \sin(2x - \frac{\pi}{6}) $ представим аргумент $ 2x - \frac{\pi}{6} $ как $ 2 \cdot (x - \frac{\pi}{12}) $.
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2y) = 2\sin(y)\cos(y) $, где $ y = x - \frac{\pi}{12} $.
Получаем: $ \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot (x - \frac{\pi}{12})) = 2\sin(x - \frac{\pi}{12})\cos(x - \frac{\pi}{12}) $.
Ответ: $ \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 2\sin(x - \frac{\pi}{12})\cos(x - \frac{\pi}{12}) $.

6) Для выражения $ \operatorname{tg} 7\alpha $ представим угол $ 7\alpha $ как $ 2 \cdot \frac{7\alpha}{2} $.
Применим формулу тангенса двойного угла $ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}(x)}{1 - \operatorname{tg}^2(x)} $, где $ x = \frac{7\alpha}{2} $.
Получаем: $ \operatorname{tg} 7\alpha = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{7\alpha}{2}) = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{7\alpha}{2})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{7\alpha}{2})} $.
Ответ: $ \operatorname{tg} 7\alpha = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{7\alpha}{2})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{7\alpha}{2})} $.

7) Для выражения $ \sin(\alpha - \beta) $ представим угол $ \alpha - \beta $ как $ 2 \cdot \frac{\alpha - \beta}{2} $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, подставив $ x = \frac{\alpha - \beta}{2} $.
Получаем: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin(2 \cdot \frac{\alpha - \beta}{2}) = 2\sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) $.
Ответ: $ \sin(\alpha - \beta) = 2\sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) $.

8) Для выражения $ \operatorname{tg} 3 $ представим угол $ 3 $ (в радианах) как $ 2 \cdot \frac{3}{2} $.
Применим формулу тангенса двойного угла $ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}(x)}{1 - \operatorname{tg}^2(x)} $, где $ x = \frac{3}{2} $.
Получаем: $ \operatorname{tg} 3 = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{3}{2}) = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{3}{2})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{3}{2})} $.
Ответ: $ \operatorname{tg} 3 = \frac{2\operatorname{tg}(1,5)}{1 - \operatorname{tg}^2(1,5)} $.

23.2. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $ \sin 10\alpha $; 2) $ \cos \frac{\alpha}{4} $; 3) $ \cos \left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right) $; 4) $ \operatorname{tg} 12\alpha $.

1) Для того чтобы применить формулу двойного угла к выражению $\sin 10\alpha$, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Представим аргумент $10\alpha$ как $2 \cdot (5\alpha)$. В этом случае "половинный" угол $x$ из формулы соответствует $5\alpha$.

Подставляя $5\alpha$ вместо $x$ в формулу, получаем:

$\sin 10\alpha = 2\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)$.

Ответ: $2\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)$.

2) Для выражения $\cos \frac{\alpha}{4}$ применим формулы косинуса двойного угла. Представим аргумент $\frac{\alpha}{4}$ как $2 \cdot \left(\frac{\alpha}{8}\right)$. В этом случае "половинный" угол равен $\frac{\alpha}{8}$.

В зависимости от выбранной формы формулы косинуса двойного угла ($\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ или $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$), мы можем получить три эквивалентных результата:

• $\cos \frac{\alpha}{4} = \cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)$
• $\cos \frac{\alpha}{4} = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right) - 1$
• $\cos \frac{\alpha}{4} = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)$

Ответ: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)$, или $2\cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right) - 1$, или $1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)$.

3) Для выражения $\cos\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right)$ также используем формулы косинуса двойного угла. Представим аргумент $\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right)$ как $2 \cdot \left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$. В данном случае "половинным" углом является $\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$.

Применяя три варианта формулы косинуса двойного угла, получаем:

• $\cos\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right) = \cos^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$
• $\cos\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right) = 2\cos^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right) - 1$
• $\cos\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$

Ответ: $\cos^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$, или $2\cos^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right) - 1$, или $1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$.

4) К выражению $\tan 12\alpha$ применим формулу тангенса двойного угла: $\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$.

Представим аргумент $12\alpha$ как $2 \cdot (6\alpha)$. Здесь "половинный" угол $x$ из формулы равен $6\alpha$.

Подставляя $6\alpha$ в формулу, получаем:

$\tan 12\alpha = \frac{2\tan(6\alpha)}{1 - \tan^2(6\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2\tan(6\alpha)}{1 - \tan^2(6\alpha)}$.

23.3. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha}$;

2) $\frac{\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}$;

3) $\cos 2\alpha + \sin^2 \alpha$;

4) $\frac{\sin 50^{\circ}}{2 \cos 25^{\circ}}$;

5) $\frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$;

6) $1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{4}$;

7) $\frac{\sin^2 \alpha \operatorname{ctg} \alpha}{\sin 2\alpha}$;

8) $\left(\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4}\right)\left(\sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4}\right)$;

9) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{1 - 2\sin^2 \alpha}$;

10) $\cos^4 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \sin^4 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

11) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + 2\sin^2 \alpha}$;

12) $\frac{\operatorname{tg}(45^{\circ} + \alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(45^{\circ} + \alpha)}$

1) Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Подставим ее в исходное выражение:
$\frac{\sin{2\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$
Сокращаем на $\sin{\alpha}$ (при условии $\sin{\alpha} \neq 0$):
$2\cos{\alpha}$
Ответ: $2\cos{\alpha}$

2) Используем формулу синуса двойного угла в числителе ($\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$) и формулу косинуса двойного угла в знаменателе ($\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$):
$\frac{\sin{2\alpha}}{\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}} = \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$
По определению тангенса $\text{tg}{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$, получаем:
$\text{tg}{2\alpha}$
Ответ: $\text{tg}{2\alpha}$

3) Используем одну из формул косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$:
$\cos{2\alpha} + \sin^2{\alpha} = (\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}) + \sin^2{\alpha}$
Упрощаем выражение:
$\cos^2{\alpha}$
Ответ: $\cos^2{\alpha}$

4) Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. В нашем случае $\sin{50^\circ} = \sin(2 \cdot 25^\circ) = 2\sin{25^\circ}\cos{25^\circ}$:
$\frac{\sin{50^\circ}}{2\cos{25^\circ}} = \frac{2\sin{25^\circ}\cos{25^\circ}}{2\cos{25^\circ}}$
Сокращаем на $2\cos{25^\circ}$:
$\sin{25^\circ}$
Ответ: $\sin{25^\circ}$

5) В числителе используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$, которую можно разложить как разность квадратов:
$\frac{\cos{2\alpha}}{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}}{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}} = \frac{(\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})}{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}$
Сокращаем на $(\cos{\alpha} - \sin{\alpha})$:
$\cos{\alpha} + \sin{\alpha}$
Ответ: $\cos{\alpha} + \sin{\alpha}$

6) Выражение $1 - 2\sin^2{x}$ является формулой косинуса двойного угла $\cos{2x}$. В нашем случае $x = \frac{\alpha}{4}$:
$1 - 2\sin^2{\frac{\alpha}{4}} = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = \cos{\frac{\alpha}{2}}$
Ответ: $\cos{\frac{\alpha}{2}}$

7) Заменим $\text{ctg}{\alpha}$ на $\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$ и $\sin{2\alpha}$ на $2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$:
$\frac{\sin^2{\alpha} \cdot \text{ctg}{\alpha}}{\sin{2\alpha}} = \frac{\sin^2{\alpha} \cdot \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = \frac{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
Сокращаем дробь:
$\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

8) Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(\sin{\frac{\alpha}{4}} + \cos{\frac{\alpha}{4}})(\sin{\frac{\alpha}{4}} - \cos{\frac{\alpha}{4}}) = \sin^2{\frac{\alpha}{4}} - \cos^2{\frac{\alpha}{4}}$
Вынесем минус за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos{2x} = \cos^2x - \sin^2x$:
$-(\cos^2{\frac{\alpha}{4}} - \sin^2{\frac{\alpha}{4}}) = -\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = -\cos{\frac{\alpha}{2}}$
Ответ: $-\cos{\frac{\alpha}{2}}$

9) В числителе используем следствие из формулы синуса двойного угла $\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$. В знаменателе используем формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2{\alpha} = \cos{2\alpha}$:
$\frac{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{1 - 2\sin^2{\alpha}} = \frac{\frac{1}{2}\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} = \frac{1}{2}\text{tg}{2\alpha}$
Ответ: $\frac{1}{2}\text{tg}{2\alpha}$

10) Используем формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$. Пусть $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$:
$\cos^4{x} - \sin^4{x} = (\cos^2{x} - \sin^2{x})(\cos^2{x} + \sin^2{x})$
Применяем формулу косинуса двойного угла $\cos^2{x} - \sin^2{x} = \cos{2x}$ и основное тригонометрическое тождество $\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1$:
$\cos{2x} \cdot 1 = \cos{2x}$
Подставляем обратно $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$:
$\cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$
Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin{y}$:
$\sin{2\alpha}$
Ответ: $\sin{2\alpha}$

11) Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: $(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2 - \sin{2\alpha}$. Раскроем скобки и применим тождества $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ и $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$:
$\sin^2{\alpha} + 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} + \cos^2{\alpha} - \sin{2\alpha} = (\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}) + \sin{2\alpha} - \sin{2\alpha} = 1 + 0 = 1$
Знаменатель: $\cos{2\alpha} + 2\sin^2{\alpha}$. Используем формулу $\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha}$:
$(1 - 2\sin^2{\alpha}) + 2\sin^2{\alpha} = 1$
В результате получаем: $\frac{1}{1} = 1$
Ответ: $1$

12) Используем формулу тангенса двойного угла $\text{tg}{2x} = \frac{2\text{tg}{x}}{1 - \text{tg}^2{x}}$. Выразим из нее искомую часть: $\frac{\text{tg}{x}}{1 - \text{tg}^2{x}} = \frac{1}{2}\text{tg}{2x}$.
В нашем случае $x = 45^\circ + \alpha$:
$\frac{\text{tg}(45^\circ + \alpha)}{1 - \text{tg}^2(45^\circ + \alpha)} = \frac{1}{2}\text{tg}(2(45^\circ + \alpha)) = \frac{1}{2}\text{tg}(90^\circ + 2\alpha)$
Используем формулу приведения $\text{tg}(90^\circ + y) = -\text{ctg}{y}$:
$\frac{1}{2}(-\text{ctg}(2\alpha)) = -\frac{1}{2}\text{ctg}(2\alpha)$
Ответ: $-\frac{1}{2}\text{ctg}(2\alpha)$