Номер 23.1, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.1. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $ \cos \alpha; $

2) $ \sin 3\alpha; $

3) $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}; $

4) $ \cos 8\alpha; $

5) $ \sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right); $

6) $ \operatorname{tg} 7\alpha; $

7) $ \sin (\alpha - \beta); $

8) $ \operatorname{tg} 3. $

Для решения этой задачи необходимо представить аргумент каждой тригонометрической функции в виде удвоенного некоторого угла и затем применить соответствующую формулу двойного угла:

• $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $
• $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $
• $ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $

1) Чтобы применить формулу двойного угла к выражению $ \cos \alpha $, представим угол $ \alpha $ в виде $ 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $.
Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $, где $ x = \frac{\alpha}{2} $.
Получаем: $ \cos \alpha = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) $.
Также можно использовать и другие формы этой формулы: $ \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1 $ или $ \cos \alpha = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $.
Ответ: $ \cos \alpha = \cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2}) $.

2) Для выражения $ \sin 3\alpha $ представим угол $ 3\alpha $ как $ 2 \cdot \frac{3\alpha}{2} $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, подставив $ x = \frac{3\alpha}{2} $.
Получаем: $ \sin 3\alpha = \sin(2 \cdot \frac{3\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{3\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha}{2}) $.
Ответ: $ \sin 3\alpha = 2\sin(\frac{3\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha}{2}) $.

3) Для выражения $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $ представим угол $ \frac{\alpha}{2} $ как $ 2 \cdot \frac{\alpha}{4} $.
Применим формулу тангенса двойного угла $ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}(x)}{1 - \operatorname{tg}^2(x)} $, где $ x = \frac{\alpha}{4} $.
Получаем: $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{\alpha}{4})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{\alpha}{4})} $.
Ответ: $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{\alpha}{4})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{\alpha}{4})} $.

4) Для выражения $ \cos 8\alpha $ представим угол $ 8\alpha $ как $ 2 \cdot 4\alpha $.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) $, подставив $ x = 4\alpha $.
Получаем: $ \cos 8\alpha = \cos(2 \cdot 4\alpha) = \cos^2(4\alpha) - \sin^2(4\alpha) $.
Ответ: $ \cos 8\alpha = \cos^2(4\alpha) - \sin^2(4\alpha) $.

5) Для выражения $ \sin(2x - \frac{\pi}{6}) $ представим аргумент $ 2x - \frac{\pi}{6} $ как $ 2 \cdot (x - \frac{\pi}{12}) $.
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2y) = 2\sin(y)\cos(y) $, где $ y = x - \frac{\pi}{12} $.
Получаем: $ \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot (x - \frac{\pi}{12})) = 2\sin(x - \frac{\pi}{12})\cos(x - \frac{\pi}{12}) $.
Ответ: $ \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 2\sin(x - \frac{\pi}{12})\cos(x - \frac{\pi}{12}) $.

6) Для выражения $ \operatorname{tg} 7\alpha $ представим угол $ 7\alpha $ как $ 2 \cdot \frac{7\alpha}{2} $.
Применим формулу тангенса двойного угла $ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}(x)}{1 - \operatorname{tg}^2(x)} $, где $ x = \frac{7\alpha}{2} $.
Получаем: $ \operatorname{tg} 7\alpha = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{7\alpha}{2}) = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{7\alpha}{2})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{7\alpha}{2})} $.
Ответ: $ \operatorname{tg} 7\alpha = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{7\alpha}{2})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{7\alpha}{2})} $.

7) Для выражения $ \sin(\alpha - \beta) $ представим угол $ \alpha - \beta $ как $ 2 \cdot \frac{\alpha - \beta}{2} $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, подставив $ x = \frac{\alpha - \beta}{2} $.
Получаем: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin(2 \cdot \frac{\alpha - \beta}{2}) = 2\sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) $.
Ответ: $ \sin(\alpha - \beta) = 2\sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) $.

8) Для выражения $ \operatorname{tg} 3 $ представим угол $ 3 $ (в радианах) как $ 2 \cdot \frac{3}{2} $.
Применим формулу тангенса двойного угла $ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}(x)}{1 - \operatorname{tg}^2(x)} $, где $ x = \frac{3}{2} $.
Получаем: $ \operatorname{tg} 3 = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{3}{2}) = \frac{2\operatorname{tg}(\frac{3}{2})}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{3}{2})} $.
Ответ: $ \operatorname{tg} 3 = \frac{2\operatorname{tg}(1,5)}{1 - \operatorname{tg}^2(1,5)} $.