Номер 23.5, страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.5. Вычислите:

1) $2\sin 75^\circ \cos 75^\circ$;

2) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

3) $1-2\sin^2 \frac{\pi}{12}$;

4) $\sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30'$;

5) $\frac{2\operatorname{tg} 165^\circ}{1-\operatorname{tg}^2 165^\circ}$;

6) $\frac{1-\operatorname{tg}^2 15^\circ}{\operatorname{tg} 15^\circ}$.

1) Для вычисления выражения $2\sin 75^\circ \cos 75^\circ$ используется формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$.
В данном случае $\alpha = 75^\circ$.
$2\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin(150^\circ)$.
Применяя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Выражение $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Здесь $\alpha = 15^\circ$.
$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.
Значение косинуса 30 градусов является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Выражение $1 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12}$ является одной из форм формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
$1 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{2\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.
Значение косинуса $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Для выражения $\sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30'$ воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Сначала преобразуем угол в десятичные градусы: $30' = (30/60)^\circ = 0.5^\circ$, поэтому $22^\circ 30' = 22.5^\circ$.
Здесь $\alpha = 22.5^\circ$.
$\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 22.5^\circ) = \frac{1}{2}\sin(45^\circ)$.
Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

5) Выражение $\frac{2\operatorname{tg} 165^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 165^\circ}$ соответствует формуле тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.
Здесь $\alpha = 165^\circ$.
$\frac{2\operatorname{tg} 165^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 165^\circ} = \operatorname{tg}(2 \cdot 165^\circ) = \operatorname{tg}(330^\circ)$.
Используя формулу приведения $\operatorname{tg}(360^\circ - x) = -\operatorname{tg} x$, получаем:
$\operatorname{tg}(330^\circ) = \operatorname{tg}(360^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

6) Для вычисления выражения $\frac{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}{\operatorname{tg} 15^\circ}$ преобразуем его, используя формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.
$\frac{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}{\operatorname{tg} 15^\circ} = \frac{2(1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ)}{2\operatorname{tg} 15^\circ} = 2 \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}{2\operatorname{tg} 15^\circ} = 2 \cdot \frac{1}{\frac{2\operatorname{tg} 15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}}$.
Это выражение равно $2 \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}(2 \cdot 15^\circ)} = 2 \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}(30^\circ)}$.
Так как $\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha$, то получаем $2\operatorname{ctg}(30^\circ)$.
Табличное значение $\operatorname{ctg}(30^\circ) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $2\operatorname{ctg}(30^\circ) = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.