Номер 22.17, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.17. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt{2}}$

2) $\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

1) $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt{2}}$

Для того чтобы перемножить корни, приведем их к одному показателю. Наименьший общий показатель для корня 3-й степени и корня 6-й степени — это 6.

Представим первый множитель $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$ в виде корня 6-й степени. Для этого возведем подкоренное выражение в квадрат, а показатель корня умножим на 2:

$\sqrt[3]{1+\sqrt{2}} = \sqrt[3 \cdot 2]{(1+\sqrt{2})^2} = \sqrt[6]{(1+\sqrt{2})^2}$

Раскроем скобки в подкоренном выражении, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(1+\sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3+2\sqrt{2}$

Таким образом, первый множитель равен $\sqrt[6]{3+2\sqrt{2}}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\sqrt[6]{3+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt{2}}$

Используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt[6]{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}$

В подкоренном выражении мы видим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$:

$(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9-8=1$

Подставим результат в наше выражение:

$\sqrt[6]{1} = 1$

Ответ: 1

2) $\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Рассмотрим первый множитель $\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}}$. Заметим, что подкоренное выражение $7+4\sqrt{3}$ можно представить в виде полного квадрата.

Используем формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$, откуда $ab=2\sqrt{3}$.

Подбором находим, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$ удовлетворяют этим условиям, так как $a^2+b^2=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$.

Следовательно, $7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.

Подставим это в первый множитель:

$\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}} = \sqrt[4]{(2+\sqrt{3})^2} = (2+\sqrt{3})^{2/4} = (2+\sqrt{3})^{1/2} = \sqrt{2+\sqrt{3}}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

В подкоренном выражении мы снова видим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=2$ и $b=\sqrt{3}$:

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$

Подставим результат в наше выражение:

$\sqrt{1}=1$

Ответ: 1